Si les substitutions S et T sont échangeables, on a

ST = TS ou S = TST-i,

et S est égale à sa transformée j)ar T. Pour effectuer la transformation de S par T, il faut (150)

effectuer la substitution T dans les cycles de S; alors deux cas pourront se présenter : ou bien T ne modifiera pas les cycles de S, ou bien elle se bornera à les échanger entre eux. Le premier cas se présentera si les lettres d'un cycle de S n'entrent pas dans T ou si une puissance d'un cycle est un facteur de T, ce qui fera que le cycle transformé commence par une autre lettre sans que l'ordre des lettres soit altéré. En dehors de ces facteurs, T ne peut contenir que des facteurs qui peuvent échanger des cycles de S; cherchons un pareil facteur Q.

Si l'on applique ce facteur au cycle Ci, celui-ci se change en un autre C2 qui doit aussi entrer dans S, C2 se change en C3, . . . , C[x se change en C, ; d'ailleurs Ci gagné par la transformation peut commencer avec une autre lettre que dans S; on a, par exemple.

Cl =(«!«, ...fti), C.2 = {bibo...bi\

et Cl devient

Le facteur P de S

c^=(Af....fn,

1 = Li L2 • ■ • Cjj.

est une substitution régulière et, si p=:o, le facteur 0 de T

Q = («1 b, . . ./,) («2/a . . ./2 ) . . . (a, b,-... fi)

est régulier. Q est encore régulier si p n'est pas nul, mais le nombre des lettres dans chaque cycle sera un multiple de f/; le premier cycle, quand on prend les indices suivant le module i, devient

dans lequel on parvient à un terme

qui est identique à Uy-, alors on doit avoir

242 QUATRIÈME PARTIE. — CUAPITRE I.

OU, en appelant a le plus grand commun diviseur de p et de /, et en posanl api = p, af, == i,

donc

q = il ;

Q est donc un produit de a facteurs circulaires composés chacun de l'i [j. lettres, et l'on a

PP = («■lrtl + p«H-2p- • •) ('^l^l + p^l-l-2p- ••)•••. QV-=z («lrtl + p<7i+2p. • •)('^''l^H-p^H-2p- • •)

d'où

PP= QV-,

les membres étant différents de l'unité, car P est d'ordre i et p < «. S et T seront donc échangeables, seulement si leurs lettres communes constituent des substitutions régulières satisfaisant à la condition précédente. L'équation PP:=Q!^ est une condition nécessaire, mais non suffisante pour que S et T soient échangeables.

155. // existe toujours des substitutions T satisfaisant à l'équation

(i) S'«=TST-i,

lorsque ni est premier avec Vordre de S.

m doit être premier avec l'ordre de chacun des cycles de S. S'" est alors semblable à S, car chaque cycle, élevé à la puissance m, donne un nouveau cycle composé des mêmes lettres. Alors (150) il y aura des substitutions T. Soit Tj l'une d'elles, (i) pourra s'écrire

T1ST71 = TST-> ou

ST7iT = T7iTS.

S ot T^'T sont alors échangeables. Soit U une substitution quelconque échangeable avec S, et soit

Tt'T = U,

d'où

Celte substitution satisfait à (i), car

TiUS(T,U)-i=TiST7' =S'«;

on voit donc que Von obtient toutes les solutions de (i) e/i multipliant une solution particulière par les substitutions échangeables açec S.

Exemple :

S = (abc) (clef); S'- = {ac/j)(dfe);

S2=TST-i, si T = (bc)icf).

Substitutions positives et négatives.

156. Une substitution quelconque peut être décomposée en un produit de transpositions.

En effet, on peut, au moj^en d'une transposition, amener une lettre à la place qu'elle doit occuper définitivement; et l'on peut alors remplacer la substitution par une autre dans laquelle n'apparaît plus cette lettre; la nouvelle substitution pourra être traitée comme la première, et ainsi de suite. On a ainsi, par exemple,

iabcd) = {bd) {hc) {ad).

157. Si le produit d'un certain nombre de transpositions est égal à i, le nombre de ces transpositions est pair.

Soient a, b, c, d, ... les lettres sur lesquelles on opère; considérons le produit

il change de signe par une transposition quelconque. Soient p, q, r des trois lettres, dans le produit entreront les facteurs ±{p — r) ei±{q — /■), dont le produit ne change pas par la transposition {pq). Les facteurs du produit considéré chan-