DES

Sur les expressions imaginaires.

1. Si l'on désigne par i l'expression imaginaire \'^i, la forme générale d'une quantité imaginaire ou d'un nombre complexe sera

a -+- bi, oix a Ci b sont réels. Si l'on pose

(i; a^rcosO, /['^/•siiiO,

on aura

y > ) a ■+- bi ~ r ( eos 0 -f- / sii 1 0 )

et

) r = v/«'--H b- , taiigO =

/■ est le module, il est essentiellement positif; Ô est l'argument, (3) donne pour d deux valeurs, mais (i) montre que cos9 a le signe de a et sin9 celui de b, et, comme ces signes déterminent le quadrant où se termine B, l'arc compris entre o et 271, dont la tangente est tang9, se trouve bien déter- P. I

miné. En réalité, Q possède une infinité de valeurs positives ou négatives différant entre elles de ipn, où p désigne un entier arbitraire positil" ou négatif. Dans la suite, il sera sous-entendu que l'on peut toujours ajouter à l'argument ce nombre 2/:>7r. On représente encore, pour abréger, la quantité qui a pour module /• et pour argument Q par la notation /-,. Exemples :

1 = 1^, / = I ^, — 1 -1- / y '^ = 2 2 Tt, — I / /3 = 2 i TT.

2. L'imaginaire a + bi peut être représentée par un point. Soient 0 {fig. i) une origine et OXun axe orienté; un point A

est déterminé quand on donne le rayon vecteur /• et l'angle B qu'il fait avec l'axe OX; on peut représenter ce point par la notation re; on voit que les quantités réelles sont représentées par les points de l'axe OX. On voit aussi que /■ représente en quelque sorte la valeur numérique de r%, et que le fcicteur cos9 + i^inQ en détermine la direction, il joue le rôle d'un signe directif. Les signes + et — désignent deux directions opposées sur l'axe OX, de même i et — i représentent les deux directions opposées perpendiculaires à OX. Nous allons montrer comment, en généralisant la notion d'addition, on peut déduire de ces directions toutes les autres.

Au lieu de dire que l'imaginaire /-g représente le point A, on peut dire que le ra^^on orienté OA est représenté par /'o.

Les deux imaginaires a + bi, a — bi sont dites conjuguées; elles ont même module, leurs arguments sont égaux et de signes contraires, les points qu'elles représentent sont symétriques par rapport à l'axe OX.

3. Calcul des imaginaires. — Nous allons maintenant généraliser la notion d'addition, de manière à obtenir pour les imaginaires un calcul analogue à celui des quantités réelles. Soit donnée la formule

(« + bi) -h («1-!- bit) = a -i- ai-\- (b -+- bi)i;

les points qui représentent les parties de la somme ont respectivement pour coordonnées a, b et «i, b^, celui qui représente la somme, a pour coordonnées « + «i et b-\-bx. Ces trois points et l'origine des coordonnées sont les sommets d'un parallélogramme dont les côtés sont r et /•,, les directions de ces côtés sont déterminées par les angles 6 et Oj. L'addition se ramène donc à la recherche de la résultante de deux droites ayant pour longueurs les modules et pour directions les arguments des quantités à ajouter, et l'on voit l'interprétation géométrique de ce fait qu'une somme ne change pas quand on intervertit l'ordre de ses parties.

Lorsque la somme de plusieurs imaginaires est nulle, après avoir composé les droites qui représentent les parties, on revient à l'origine et la figure se réduit à un polygone fermé : on peut donc dire que la somme des côtés d'un polygone fermé est nulle, si l'on sous-entend que chaque côté représente une imaginaire, et qu'il est déterminé en grandeur et en direction, ce qui détermine le sens dans lequel le polygone doit être parcouru. On peut dire aussi que le point final représente la même imaginaire quel que soit le chemin parcouru. Ainsi la formule (2) montre que l'on arrive au même point, soit en parcourant le rayon r dans la direction d, soit en parcourant a dans la direction +1 et 6 dans la direction i. Il résulte des considérations précédentes que le module d'une somme est moindre que la somme des modules de ses parties, pourvu que les parties n'aient pas toutes le même argument. Dans ce dernier cas, en effet, le module de la somme serait égal à la somme des modules de ces parties.

hdi soustraction revient à une addition avec changement de signe de la partie à soustraire.

La notion de multipUcalion résulte de la considération de la formule

/■(cos6 4- /siiiO) r^ (cosOi-(- i sinOi) = r./-, [cos(0 + Oi) + / sin(0 + Oi)] ou

(4) 'o '■'9. = ('■'•! Wô,-

On voit que le module d'un produit est égal au produit des modules de ses facteurs, et que son argument est égal à la somme des arguments des facteurs.

La multiplication par un facteur revient ainsi à une multiplication par le module de ce facteur (dans le sens ordinaire du mot multiplication), suivie d'une rotation égale à l'argument de ce facteur. Soient A et Ai {fg. 2) les points qui re-

présentent les facteurs, B le point qui représente l'unité h-i, et P celui qui représente le produit; on voit facilement que le triangle OBA est semblable à OAiP.

Ainsi le triangle, formé par l'unité et l'un des facteurs, est semblable au triangle formé par l'autre facteur et le produit. Le produit est formé avec le multiplicande comme le multiplicateur est formé avec l'unité.

L'échange des points A et A, fournirait encore des triangles semblables; c'est l'interprétation géométrique du théorème relatif à la possibilité de l'interversion des facteurs.

Exemple :

La division se ramène à la multiplication. Quant à Y élévation aux puissances et à l'extraction des racines, elles donnent lieu aux formules {n étant un entier positif)

Dans le second membre de la dernière formule, on doit supposer à B des valeurs de la forme B+ipr., et des valeurs différentes de /> pourront fournir des solutions différentes.

Dans la suite, on fera usage d'exposants fractionnaires, lorsqu'on suppose toutes ses valeurs à une racine, au contraire, on fera usage du signe radical, lorsque l'on voudra représenter une valeur bien déterminée; ainsi on aura

(6) (^e)"=(v/^)2pz + Q,

oh p doit recevoir les valeurs o, i, 2, ..., (/?— i). p=^n donne le même résultat que /o = o; p^^n-^a donne le même résultat que p^i^a. Ainsi le nombre des valeurs réellement distinctes de (6) est n\ et, comme leurs directions partagent Tespace en n parties égales déterminées par les directions

// // n II II

(/•fj)" aura au plus deux valeurs réelles données par les formules

■ip--hO ■?.p--~-0

-i- = O OU — = -.

Il II

Dans le premier cas, on a ô = o, /5 =: o; dans le second cas, on a 9 = o et 2/? = n ou 9 z= tt et 2/j> -1- i =: n. Si r^ est imaginaire, ses racines sont imaginaires; s'il est positif, une racine sera positive, l'autre négative si n est pair; une seule racine sera positive, si n est impair.

Enfin, si r^ est négatif, une racine sera négative si n est impair, et toutes les racines seront imaginaires si n est pair.

En combinant les résultats précédents, on obtient des théorèmes analogues au sujet des exposants négatifs et fractionnaires

Si la fraction - peut être réduite à une plus simple expres-

sion, l'expression de O'^y peut se simplifier également. Exemple I :

les trois valeurs de cette expression sont

cos4o°-H f sin4o°, cos 160°-}- /sin 160°, cos28o"-+- j sinaSo". Exemple II :

les valeurs de (—8)^ sont