et 25- ou I -H / y/j , — 2 et I — isf
Nous allons maintenant appliquer la théorie précédente à des considérations géométriques.
On sait que l'expression
.ro — .ri ,r, — .r^
reste invariable quand on remplace a?i, a?,, ^3, ^4 par — , — j
Xy x^
— 5 — • Supposons les quantités a; imaginaires et représentées
Xz X'^
par les points Aj, A,, A3, A4 {fi g. 3). Alors x^^ — x^ sera représenté en grandeur et en direction par Ai Ao. Si l'on parcourt les seg-
inents analogues dans l'orclre Ai, A., A3, Ai; si l'on désigne leurs modules par i\, /:,, r^, r., el leurs directions par de
Fig. 3.
grandes lettres, X désignant la direction des quantités positives, on aura
^-2— ^1= /'UXR.I,
Le rapport considéré devient alors
r,{Xl\,)- r.iXR,)' il a pour module
r-. Pi
et pour argument
(XRi) + (R,X) + (RiX)-T-(XI\3) = (R,R,) + (BiR3).
Ainsi le module de notre expression est le rapport des produits des côtés opposés du quadrilatère AiAïAaAj, et l'argument de cette expression est la somme des angles opposés (et extérieurs); ces grandeurs restent inaltérées après la
transformation, qui consiste à remplacer a: par - ou Tq par
(-) ; si — 5 se change en 9, le point correspondant se change
en son symétrique par rapport à l'axe des quantités positives; cela revient à changer la direction dans laquelle on compte
les angles positifs; on obtient alors (-) • Notre proposition
a donc encore lieu si l'on remplace /'q par (-) , et si nous changeons — 9 en 9, de telle sorte que le produit des distances des deux points corpespondanl à l'origine soit égal à un. Les deux points en question sont alors transformés l'un de l'autre par rayons vecteurs réciproques. Nous venons donc de démontrer par l'Algèbre que, par une transformation par rayons vecteurs réciproques des sommets d'un quadrilatère, on n'altère pas le rapport des produits des côtés opposés pendant que la somme des angles opposés change son signe. Il est d'ailleurs indifférent que le quadrilatère soit concave ou convexe.
Fonctions rationnelles entières.
k. Étant donnée la fonction entière
on peut toujours choisir le module /■ de c assez petit pour que le module de f{z) devienne et reste plus petit qu'une quantité donnée R.
En effet, soit a le plus grand module des coefficients de f{z), on aura
mod /(c) <«(/•'" -^ r"'-i -!-.. .-t- /■) ou <« ; — ,
et si r < I
mod/(3)<-^,
et/(^) aura un module inférieur à R, si l'on prend
Il résulte de là que, dans la fonction
OÙ P désigne une fonction entière dans laquelle les exposants de z sont supérieurs à n, on peut choisir le module
p de z assez petit pour que mod— puisse être rendu phis petit
riiOPRIÉlÉS GÉNÉUALF.S DKS ÉQUATIONS ALGÉBRIQIKS. 9
qu'une quantité donnée; si l'on change -; en ^, on voit, par suite, que l'on peut prendre le module de z assez grand pour que
puisse surpasser toute quantité donnée, P désignant un polynôme dans lequel tous les exposants de z sont inférieurs à n.
5. Une fonction entière et rationnelle de z est continue {^).
f{z) est continue si, z étant quelconque, on peut prendre mod/i, tel que pour toutes les valeurs de h du module moindre ou égal, le module de la dilïérence
devienne moindre qu'une quantité donnée si petite que l'on veut.
Celte dilïérence, développée par la formule de Taylor, donne
f'iz)h+f"{z) j'~ -f-. . . + /-(c.) 77:^^.
et cette expression, comme on vient de le voir, peut être rendue aussi petite que l'on veut en choisissant modA convenablement.
Il résulte de là que, si f{z) est à coefficients réels, et si cette fonction prend des valeurs de signes contraires pour deux valeurs de z, elle doit s'annuler pour une certaine valeur de z comprise entre celles-ci.
6. Une fonction entière réelle de deux variables réelles x et y ne peut changer de signe quand x et y varient d'une manière continue sans passer par zéro.
Dans le cas contraire, la fonction en un certain point devrait passer brusquement d'une valeur positive à une valeur
(') Cela résulte aussi de ce qu'une pareille foncliou a une dérivée bien déterminée pour chaque valeur de la variable.
lO CII.VPITRC I.
négative ou inversement, de telle sorte que
ne pourrait pas devenir moindre qu'une quantité donnée pour des valeurs suffisamment petites de h et A; cela est impossible, car cette dillerence peut s'écrire
et il résulte de ce que nous avons dit plus haut que chacune des deux différences dont se compose l'expression précédente peut être rendue aussi petite que l'on veut, la première en prenant k, la seconde en prenant h suffisamment petit.
La courbe dont l'équation est
partage le plan en régions finies ou infinies; si l'on considère deux points, si l'on substitue les valeurs de leurs coordonnées dans/(j?,y), et si l'on obtient des résultats de signes contraires, on ne pourra passer d'une manière continue de l'un à l'autre sans traverser la courbe. Les régions du plan seront regardées comme positives ou négatives par rapport à la courbe, suivant que les coordonnées des points de ces régions substitués à la place de ^ et y rendront /{■r, y) positif ou négatif. Pour passer d'une région positive à une région négative, il faut traverser la courbe un nombre impair de fois; pour passer d'une région positive à une région positive, il faut la traverser un nombre pair de fois. Si l'on traverse un point ot^i se coupent deux branches de courbe, il faut compter le passage par un tel point comme un double passage.
Comme on peut supposer /(^, 7) écrit avec un signe quelconque, le signe d'une région est arbitraire, mais on peut convenir d'écrire /(^,/) de telle sorte que le terme qui ne contient ni ^ ni y soit positif. De cette façon, l'origine sera dans la région positive et les signes des autres régions seront déterminés.
7. Si l'on considère deux courbes A =: o et B = o, leur ensemble partagera le plan en régions où le produit AB sera ou positif ou négatif, suivant que A et B y auront le même signe ou des signes contraires. Considérons un point d'intersection des deux courbes {fg. 4)> et décrivons autour de ce
Fig. 4.
point une petite courbe fermée; son périmètre sera partagé par les branches des courbes A =: o, B rr: o en quatre parties. Parcourons la petite courbe et déterminons en chacun de ses points la valeur de AB; toutes les fois que AB s'annule, son signe change et l'on franchit une branche du nœud. Appelons les portions de la petite courbe, parties positives ou négatives suivant que sur ces parties AB est positif ou négatif; deux parties opposées seront positives, les deux autres seront négatives; chaque fois que l'on traverse une branche du nœud, on passe d'une partie positive à une partie négative ou inversement. Si l'on effectue le parcours dans un sens déterminé, on rencontre deux espèces de points d'intersection : ceux où, en traversant la courbe A, on passe du positif au négatif; ceux où, en traversant la courbe A, on passe du négatif au positif. On trouve un exemple de ces points dans l'intersection de deux cercles.
Si, pour chaque point d'intersection des courbes A et B, on fait la différence du nombre de fois où, dans un parcours autour de ces points dans le sens positif, on traverse la courbe A en passant du positif au négatif, et où on la traverse en passant du négatif au positif, on trouve -h 2 pour certains points et — 2 pour d'autres, les uns seront appelés de première espèce, les autres seront de seconde espèce. Si l'on ajoute toutes ces différences, on obtient un nombre qui est le double de la
difTérence A entre les nombres de points de la première et de la seconde espèce. Ce nombre est celui que l'on trouverait si l'on parcourait une courbe fermée renfermant, dans son intérieur, tous les points d'intersection des courbes A et B. En effet, en déformant une pareille courbe, l'ordre dans lequel elle rencontre A et B ne peut se modifier qu'en passant par un point d'intersection de A et B, et en quittant un point où elle toucbe A ou B. Elle gagne où elle perd alors deux points d'intersection avec ces courbes {fig- 5). Ces derniers points n'ont
Fig. 5.
pas d'influence sur la valeur de la différence considérée, car ils se suivent immédiatement; si ce sont des intersections avec B, ils ne comptent pas; si ce sont des intersections avec A, ils ne cbangenl pas la différence, parce que, une fois, on passe du négatif au positif, et une autre fois du positif au négatif.
Puisque deux semblables points, pris simultanément, n'ont pas d'influence sur les autres points d'intersection, ils ne peuvent modifier la différence A dont nous nous occupons. Celleci ne peut donc changer que quand on passe par un point d'intersection de A et B.
Considérons une petite courbe fermée {fig. 6), ne coupant
Fig. 6.
ni A et B, et pour laquelle la différence A est nulle; agrandissons cette courbe jusqu'à ce qu'elle touche une des petites
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRigLES. l3
courbes décrites autour d'un point d'intersection de A et B, et, à ce moment, adjoignons-lui cette petite courbe; la différence croîtra de +2 ou — 2, suivant que l'intersection sera de première ou de seconde espèce; on peut donc énoncer le théorème suivant :
Etant données deux courbes A, B, si Von parcourt une courbe fermée dans un sens déterminé^ la différence du nombre des points de première et de seconde espèce contenus à l'intérieur de cette courbe est la moitié de la différence du nombre de fois que l'on passe du positif au négatif et du nombre de fois que l'on passe du négatif au positif, en traversant la courbe A.
S'il n'y a que des points d'une seule espèce, on peut déterminer ainsi le nombre des points réels d'intersection des courbes A et B contenus dans un contour fermé. Le théorème, du reste, est vrai quelque rapprochés que soient les points d'intersection, et, si plusieurs sont confondus, il a encore lieu en comptant chaque point autant de fois qu'il renferme d'intersections confondues.
Nombre des racines d'une équation.
8. Considérons une équation du degré n (I) f{z) = Ao3«4- Ai3«-'-f-. . .+ A„ == o,
à coefficients réels ou imaginaires; posons
^ et 7 désignant des nombres réels; en séparant les parties réelles et imaginaires, on a
(•2) /(x--jo = A-B/,
A et B désignant des fonctions réelles de x et y; la condition nécessaire et suffisante pour que ^ H- ji soit racine de l'équa-
lion (i) est que l'on ait
les racines seront donc représentées par les points d'intersection réels des courbes A et B : nous les appellerons points racines (').
Maintenant appliquons à ces courbes le théorème démontré tout à l'heure. A cet effet, décrivons un cercle assez grand pour contenir toutes les intersections des courbes A et B, si elles se coupent; divisons l'équation (i) par Ao, elle prendra la forme
et, en posant z ^ x -^ ri ^= /-(cosS + /sin5),
(5) A = /'"cos/^0 -i- 07'"-'cos[(/^ — i )0 — v] -+-.,.= o, ( 6 ) B = /•« siii /i 0 -i- ar"-^ siii [{ n — i ) 0 -{- v ]-:-... = o,
on peut prendre le rayon /• du cercle assez grand, pour que les premiers termes de (5) et (6) donnent, avec une approximation aussi grande que l'on veut, les points d'intersection des courbes avec le cercle; on a alors
cos/<0 = o, siii//0 = o, d'où
■2/i II
(') Les courbes A et B ne sont pas quelconques, elles dépendent Tune de Tautre; on a en eifet, en difterentiant.
d"où Ton tire
ÔX ÔB .
Ox ôx '
//(.r + rO
^)A ÔB .
~ ÔJ ÔJ ''
Ox ~ ôj'
ô\ ÔB ôx " ÔJ
Les points d'intersection avec le cercle des courbes A et B, à mesure que le rayon du cercle croît, tendent donc à partager la circonférence en 4" parties égales, et ces points se suivent alternativement; la ditTérence A, considérée plus haul, du nombre des points de première et de seconde espèce est donc in, il y a donc au moins n points d'intersection contenus dans le cercle. Donc
Une équation de degré n a au moins n racines.
9. Si a, est une racine de /{:■) ^= o, le polynôme f{z) est divisible par z — y.^.
En effet, on peut poser
Q désignant une fonction entière, et R un nombre indépendant de z. Cette identité doit avoir lieu pour :; = c/.^, et l'on a
car T{ ne contient pas :;, et il ne cbange pas en remplaçant ;: par a,.
Soit a, une autre racine de l'équation, elle doit annuler {z — ai)Q et par suite Q, donc
donc
et ainsi de suite.
Inversement, on voit facilement que a est racine de f{z)^=o quand {z — a) divise f{z). A chaque racine de f{z) correspond donc un facteur de f{z) de la forme z — a, et réciproquement. Comme un polynôme du degré n ne peut avoir plus de n facteurs du premier degré, une équation de degré n ne saurait avoir plus de n racines. En combinant ce résultat
ib CnAPURE I.
avec le n" 8, on voit qu'une équation de degré n a n racines (').
Si l'on appelle y.^, v-i, • • -, «« ces racine?, on a
(7) f{z ) = X,{z - aO (-■ - a,), --(z- a„ l,
OÙ Ao est le coefficient de ^" dans/(c).
10. On a supposé, dans la démonstration du théorème précédent, que les points d'intersection de A et B étaient simples, c'est-à-dire tels qu'une petite courbe tracée autour de chacun d'eux ne rencontrait chacune des courbes A, B que deux fois seulement. Si cela n'avait pas lieu, on ne trouverait n racines qu'en comptant chaque semblable point pour autant de fois qu'il y a de doubles passages du signe + au signe — . Nous allons revenir sur ce cas.
Prenons pour origine un point racine z =: v.: z=io doit satisfaire à l'équation, elle a donc la forme
(8) a.jZ-^/^-j^z'^^...= o,
et l'on a
(g) A = rtrcos(6 -f- u) -4- br- cos(20 -h uj) -^. . .= o,
(lo) B = rtz-sin (0 -H ■j) + /jf' sin (26 -!- -j,) -h. . .= o:
(') On voit que les poiats racines doivent être des points de même espèce, de sorte que le théorème énoncé plus haut peut servir à déterminer le nombre des racines contenues dans un contour donné ( théorème de Gauchy ) ; on peut montrer que les deux espèces de points d'intersection pour les courbes A et B sont tels qu'il faut traverser la courbe
fJA (m ()X ()B (jjc ()y Oj dx
un nombre impair de fois pour aller d'un point d'une espèce à un point dit l'autre espèce. Cette courbe n'a pas de branche réelle, car à l'aide des équations de la note de la page i4, le premier membre de son équation se change en une somme de deux carrés.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. in
pour une petite valeur de r, on n'a besoin de considérer que les premiers termes. Tant que a n'est pas nul, chacune des courbes A et B ne coupe le petit cercle de rayon /• qu'en deux points déterminés par les équations
cos(0 -h u) = o, sin(8 + 'j) = o,
et l'on a affaire à un point d'intersection ordinaire. Si, au contraire, a = o, les points d'intersection du cercle avec A et B seront donnés par
cos(2 6 -f- Ji) = o et sin('2 0 -H -Ji) = o,
d'où il suit que chaque courbe possède en ce point un point double, et le petit cercle les coupe en 8 points, chaque équation donnant 4 valeurs pour Q. Un pareil point augmente la différence A de ± 4 et compte pour deux points racines. En général, un point devra compter pour p points si l'équation a pour premier terme un terme en zp ou quand son premier membre est divisible par zP; dans ce cas /(s) est divisible par {z — a)P et le théorème que nous avons démontré n'est vrai que si, f{z) étant divisible par {z — y.)P, on compte la racine a comme équivalant à p racines. On dit alors que l'équation a p racines égales à a, ou que a est une racine multiple d'ordre p.
11. Deuxième démonstration de ce théorème que toute équation de degré n a n racines (démonstration d'Argand, aussi appelée démonstration de Cauchy).
Il suffit de démontrer que toute équation a une racine, car on peut écarter cette racine par la division du premier membre de l'équation par un facteur du premier degré, on a alors une équation de degré moindre qui admet une racine, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive à une équation du premier degré qui a une seule racine; on a ainsi déterminé successivement n racines dans le cas oij l'équation est de degré n.
l8 CHAPITRE I.
Pour établir que l'équation
a au moins une racine, nous chercherons à la vérifier pour une valeur
Si ^0 satisfait à l'équation, ce sera une racine, sinon /{-■) prendra pour -s = ^o une valeur Zq de module R; mais on peut montrer que, en modifiant légèrement /■ et 9, on peut faire acquérir hf{z) un module inférieur à R, si R n'est pas nul. Si l'on remplace ^o par -o+ /* où
on a
f{Zo + //) = /(3o ) -+-/'^(-o)^' -^fr-^K-n ) ^y^ -r- . . . -+- Ao//'S
oii p peut être >i, plusieurs dérivées pouvant être nulles. On a alors
^." = i-hC;;pP[cos(/Jcj -+-Xjj) -hi s'm(pw -4- a^j)] 4- B,
B étant divisible par une puissance de p supérieure à p, en posant
Si l'on choisit w de telle sorte que/Joj 4- a^, =: 7-, on a
cos(/j»oj -h ap) — — I, sia{p(^i -i- 'Jij,) = o et
I — C„p/'+Bo
où Bo est la valeur que prend B pour la valeur assignée à w. Le terme — Cppp est négatif et, pour de petites valeurs numériques de p, supérieur au module de Bj : on peut donc prendre w et p tels que
mod^-^^ ^<i ou mod/(;o+/0 < mod/(;o).
Le minimum de 11 est donc zéro et le théorème est démontré.
On pourrait cependant objecter que R, en décroissant, pourrait tendre vers une limite différente de zéro sans l'atteindre; mais, si l'on considère les valeurs de R correspondant aux valeurs finies de ^, il y en aura une qui sera minima; mais cela est impossible, comme on l'a vu, si celte valeur minima n'est pas nulle. Il reste donc à montrer que z ne croît pas indéfiniment quand R tend vers zéro. Or, cela n'a évidemment pas lieu puisque f{z) croît indéfiniment avec -;.
Racines conjuguées des équations à coefficients réels.
12. Si la quantité imaginaire a -+- bi est racine d'une équation à coefficients réels, a — bi est également racine de cette équation.
En effet, on a, en désignant par J{z) un polynôme entier et par a + bi une racine de/(^) = o,
j\z)={z-{a + bim,
Q désignant un polynôme entier. Comme f{z) ne contient pas i, i doit disparaître du second membre après que l'on y aura effectué la multiplication, ce qui ne peut avoir lieu que si les exposants de i sont tous pairs, et alors son expression ne doit pas changer quand on remplace i par — /; il en résulte que
/(3) = [3-(«-/v/)]Ch,
où Qi est entier et ne diffère de Q que par le changement de i en — i\ on voit donc que/(^) est divisible par z — {a— bi) ou que a — bi est également racine de/(^) ^ o.
Les racines imaginaires d'une équation à coefficients réels sont donc en nombre pair et les facteurs imaginaires du premier degré d'un polynôme entier à coefficients réels sont, par suite, également en nombre pair.
En groupant deux facteurs imaginaires conjugués, on obtient le facteur réel
On voit donc qu'an polynôme entier à coejficients réels peut se décomposer en fadeurs réels du premier et du second de^ré.
Détermination de la racine commune à deux équations.
13. Si les deux équations /(;)=:o et F(r)=3:o ont les racines communes a, h, c, ..., J\z) et F(^) auront le facteur commun {z — a) [z — b) {z — c) . . . et vice versa. Comme on peut toujours obtenir, par des méthodes connues, le facteur commun à deux polynômes, on pourra toujours trouver une équation ayant pour racines les racines communes à deux équations données. Des équations ayant des racines communes pourront donc toujours être remplacées par d'autres de degré moins élevé. Si, par exemple, 9 (s) est le plus grand commun diviseur de f{z) et F(-), l'équation cp(-s) =0 aura pour racines les racines communes à /■(;:) =:o et F(s)=:o. Les autres racines de ces équations satisferont aux équations
fjz) ^^ FJ2l =0
Si les équations données avaient des racines multiples communes, (p(:;) = o admettrait ces racines avec leur plus petit degré de multiplicité. Si, par exemple, f{z) est divisible par {z — a)!' et F(:;) par (5 — a)^^?, ©(s) l'est par (z — a)'', V{z):cf){z) et 9(5) auront donc encore des racines communes et leur degré pourra être encore abaissé, etc.
Une équation f{z)r=o à coefficients numériques rationnels est dite irréductible quand f{z) ne peut pas se décomposer en facteurs à coefficients rationnels. Cette notion peut être généralisée; si l'on regarde certains nombres irrationnels comme donnés, adjoints, comme l'on dit, on peut les
considérer comme rationnels. L'équation z^ — 3 = o est alors irréductible dans le sens primitif du mot, mais elle devient réductible après l'adjonction du radical y/S : le domaine de rationalité ordinaire est alors étendu, comme l'on dit, à \/3.
Si les coefficients contiennent des irrationnelles, il faut les considérer comme adjoints.
Si les coefficients contiennent des lettres, on doit les considérer comme des quantités rationnelles. Des fonctions irrationnelles de lettres peuvent être adjointes. Ordinairement, quand les coefficients contiennent des lettres, on adjoint toutes les irrationnelles numériques.
Comme 0(5) est rationnel quand /(:;) et F(^) le sont euxmêmes, on voit que deux équations sont réductibles, quand elles ont des racines communes; cependant il pourra arriver que/(c) divise F(^) et que o{z) ^f{z); dans ce cas/(::)=^o pourrait être irréductible.
Il résulte de là que, quand une équation admet une racine d'une équation irréductible, elle les admet toutes.
Condition pour que deux équations aient des racines communes.
li. Proposons-nous de trouver la condition nécessaire et suffisante que doivent remplir les coefficients de deux équations, pour qu'elles aient des racines communes.
Soient les équations
(l) flz) = Z" -t-r/i;"-l -^rt.3«-2 -J-...H- ^„ =0,
{■1} J\{Z) = Z'" + /;ic'« 14- /;,-"^-2^. . .+ /;,„ = o.
Si ces deux équations ont une racine commune, /(-) et /i(^) ont un diviseur commun; si l'on cherche le plus grand commun diviseur de /{z) et /i(-), on finit par trouver un reste qui n'est fonction que des coefficients des deux équations; soit V ce reste, d'où l'on a éliminé les facteurs introduits pour faciliter la divisions'il y a lieu.
22 nilAPITUE I.
sera la condition nécessaire et suffisante pour que nos équations aient une solution commune, le reste qui précède a la forme
s'il est identiquement nul, les polynômes / et/i ont un facteur commun du deuxième degré, et les équations proposées ont deux racines communes; la condition pour que les équations en question aient deux racines communes est donc
et ainsi de suite.
15. Lagrange a mis ces équations de condition sous une forme différente. Supposons un des coefficients des équations a variable, les autres restant constants; quand a varie d'une manière continue, on peut admettre que les racines varient également d'une manière continue ('); demandonsnous quel accroissement h il faut donner à a pour que l'équation (i), dans sa nouvelle forme, ait une racine commune avec (2). Si dans V on change a en « + A, cette expression devient
(5) Va = Vh- y- //+ -— h....
(la d(i- I .1
Si la quantité a est déterminée de telle sorte que les équations (i), (2) aient une racine commune, on a V = o; si, pour « + ^, on a encore une racine commune, on a, en outre, V/i=o; l'accroissement h est alors donné par la formule
(la (la- 1 . 2 c/a-^ 1 . ■>. . i
Si l'on remplace dans (1) z par toutes les racines de (2), a reçoit, pour chacune d'elles, une valeur correspondante qui satisfait à (i), et à chacune de ces valeurs de a correspond.
(') Cela résulte de l'existence des dérivées des fonctions implicites.
dans (6), une valeur de h. Ces m valeurs de h correspondent chacune à une racine de (2). D'un autre côté, deux équations (i), qui correspondent à des valeurs distinctes de a, ne peuvent avoir de racines communes (excepté si ^ = 0, cas que l'on peut laisser de côté). Si alors, pour une valeur de a, q racines de l'équation (2) satisfont à (i), q des racines de (6) doivent être nulles. Donc la condition nécessaire et suffisante pour que q racines de ( 2) satisfassent à{i) est
^7^ ^ = "' .7^7^"' ^="' ■••' rf^^="'
en sous-entendant que ^ = o n'est pas racine.
Ces équations sont équivalentes à celles qui ont été trouvées plus haut si les q racines sont distinctes; si a était plusieurs fois racine de (2), il n'a besoin que d'être racine simple de (i) pour que les équations (7) aient lieu. On voit que, au lieu de supposer a égal à l'un des coefficients de (i), on pourrait le supposer choisi de telle sorte que les coefficients de (i) soient fonctions linéaires de ce paramètre; cette équation serait alors de la forme A + aB =0 et, d'après ce que l'on a vu plus haut, il faudrait supposer que A et B n'ont pas de facteur commun.
Racines égales.
16. Toute quantité p fois racine de f{z) = o est exactement racine de f {z) =0.
Soit, en effet, a une racine d'ordre de multiplicité p de p — I fois f{z) = o, alors on a
f{z) = {z-^)pQ,
où Q n'admet plus le facteur (g — a). On en tire
/' (5) = /?(G - a)A'-iQ + (3 - a)/'Q' = (3 a)/'-i[pQ + (3-a)Q'j.
Q' désignant la dérivée de Q; f'{z) est donc divisible par {z — a)p-^ et n'est pas divisible par une puissance plus élevée
de ^ — a, puisque /)Q n'est pas divisible par z — y., c/. est donc racine d'ordre de multiplicité p — i def'{z.).
Désignons maintenant par Pj le produit des facteurs simples de /(g), par P, le produit des facteurs doubles pris unr seule fois, etc., en sorte que
/(3)=:P,PiP^..,
/'(c) = P.Pi...Q,
Q désignant les facteurs de f'{z) non contenus dans /(■:;); le plus grand commun diviseur de f{z) et /'(s) sera
?(3) = P.P1..., d'où
En appelant 9i(-) le plus grand commun diviseur de 9(3) et de o'(3), on trouve, en divisant o{^) par 0\{z),
/,(c) = P,P3...; donc
On a ainsi l'expression
de l'équation à laquelle satisfont les racines simples de /(s) ^o. Celte équation est, en général, irréductible. Pour déterminer P,, on a
et si 92(-) est le plus grand commun diviseur de 9i( = ) et de (f[{z), on a
d'où l'on tire
En continuant ainsi, on a successivement
et la résolution de ces équations fait connaître les racines de f{z)=:o. On ne saura pas toujours résoudre ces équations, mais en tout cas, il est toujours possible de remplacer la résolution ci' une équation qui a des racines multiples par la résolution d'autres équations qui n'ont que des racines simples et lesquelles entrent à un même degré de multiplicité dans /(--)= o.
Expression des coefficients en fonction des racines.
17. La forme la plus générale de l'équation du degré n, quand on divise le premier membre par le coefficient de z", est
(i) f{z) — :;«-(-«, 3" ■■•-;- aiZ'^---~. . .-i- a,i iz -h a,i = o,
et si l'on désigne par «i, a., . . ., a„ ses racines, on a
(2) f{z)=(z-oi,)iz-a,)...(^-ccn)-
Si l'on effectue le produit indiqué dans le second membre de cette équation, et si on l'identifie avec le développement de /(-), on obtient les formules
\ ai a,-!- «las -r-. . ,-i- a„i a„ = «2,
(3) ' a, a.^a,-!- a, aj^i -+- . . .-f- a„.2a,j ia„ =— <73,
Fonctions symétriques des racines.
18. Une fonction de plusieurs variables est dite symétrique quand elle reste invariable lorsque l'on permute deux de ces variables d'une façon quelconque. Nous ne considérerons dans la suite que des fonctions symétriques rationnelles. Quand une expression de forme non symétrique ne change pas de valeur, quand on y permute les lettres qu'elle renferme, pour des valeurs déterminées de ces lettres, on peut lui donner une forme symétrique. Ainsi, par exemple,
pour a = I et ^>= 2, ne change pas de valeur quand on permute a et Z;; on peut l'écrire sous la forme symétrique
-{cfi-\- 'M) -1- /;2 f 3^;),
D'une manière générale, si o ne change pas de valeur, en permutant certaines quantités données, et si, par les permutations de ces quantités, elle prend les formes o,, 9., . . ., 9,,, on peut poser
cp = - (o,+ (p,-l-...-UO„),
et 9 prend la forme symétrique.
Une fonction quelconque symétrique des racines cV une
équation peut s'exprimer rationnellement en Jonction des coefficients.
Dans le cas où la fonclion est fractionnaire, on peut la mettre sous une forme telle que le numérateur et le dénominateur soient symétriques. Si, en effet, on considérait la fraclion réduite à sa plus simple expression
o(.ri, r,, . . ■)
et si les deux termes n'étaient pas des fonctions symétriques, il y aurait deux valeurs x^ et x^, qui, en s'échangeant, laisseraient inaltérée la valeur de la fraction, tandis que les valeurs du numérateur et du dénominateur se trouveraient changées. Mais cela est impossible, car il en résulterait deux fractions égales, capables de devenir infinies pour des valeurs de x^, Xo, ... qui ne seraient pas les mêmes.
On peut donc, si l'on veut, ne considérer que des fonctions symétriques entières. Considérons un terme d'une telle fonction, et permutons les racines qui y entrent de toutes les manières possibles: les résultats devront entrer dans la fonction symétrique et leur somme sera symétrique; les autres termes peuvent être traités de la même façon.
Considérons, par exemple, une équation du troisième degré ayant pour racines x^, Xo, x^. Si, dans une fonction symétrique des racines, il entre le terme Xixlx^, il doit aussi y entrer les termes x^xlx^, x^xlx,, et l'on aura à considérer la fonction
Ti .r| .rj -I- .ro x\ x^ -+- x^ .r | x, ,
qui peut s'écrire
.ri.r2.r3(.ri-f-.r2-i- fs),
et l'on a alors affaire aux fonctions x^x^x^ et Xi-\- x,^-[- x^; en réalité, on aurait du obtenir six termes, car le nombre des permutations de trois lettres est 6; mais le terme considéré est lui-même symétrique par rapport à deux racines : il n'y a pour cette raison que trois permutations donnant des résultats différents.
Ainsi, une fonction symétrique, qui ne peut pas être décomposée en fonctions plus simples, est déterminée par un seul de ses termes; on la représente par ce terme, précédé du signe i; par exemple, pour une équation de degré n,
S.ri.r2= J-pr,-!- x^x^-^- ,ri^i-f-. . .-}- .r„,.r„,
Formules de Newton.
19. Nous considérerons, en particulier, les fonctions symétriques
pour le calcul desquelles Newton a donné la méthode suivante : de
on tire, en prenant les dérivées logarithmiques ('),
(2) --jr - = 1 h. ..H
J{X) X — Xi X — .^2 X — X/i
(') Cette formule peut aussi s'établir comme il suit : on tire de
/(.r) ^(.r .,-,) (.r-xj ... (.r-.rj la formule
f{x-i-h) = {a.-->,-h—.r){x + h-x„) ... (x + /i-.r„) et
mais
si l'on égale les coefficients des mêmes puissances de h dans les deux exprcssiens de • — "
Ainsi
fX-r) =
X Xi X X-i
or on a
( 4 ) ,/■( X ) = x'^ -f- ai x'i- ' -+- «o .r«-2 .
et
.r^-^-f-. . .-f- JC'
riyx'}~^
on a d'autres équations analogues, en permutant j^i avec les antres racines .r,, ^3, . . ., .r„.
En ajoutant toutes ces formules, on a, avec les notations adoptées tout à l'heure.
<run autre côté,
(5) f'(x) = «.r"-' + (« — i)r<i.r«-2H- (/i— Oa^.r"- ^-t-. . .+ «„en identifiant les deux valeurs de f'i-r), on a
(7,j 2Vl + (/« O'^/l-l = O.
3o CHAPITRE II.
De ces équations on lire, par un calcul de proche en proche,
S.2= rtf 2<72,
-^i = fi'[ — 4 f'I ^2 + 4 ^'i '^s + '
lal — 4<Ti-
Sr, = — «f -i- 5 rrf ri-, — 5 rcf a-i — :
'■>(al — a;)a
ces formules ne peuvent servir qu'à calculer ^,, s=,, . . ., 5„,. Pour calculer s^, s,^^^, . . ., on multiplie f{^) =^o par .r'", et Ton a
,l-'l+"' -f- «1 ,f«+"2-l -f. (i^x"+"'-- -t- . . . -r- rt„ .r'« = o,
équation satisfaite pour j? z=: ^i, a:.,, . . ., x„. Si l'on remplace successivement x par ces valeurs, et si l'on ajoute les résultats obtenus, on trouve
( 8 ) Sn^m -^- "l -fa+m-l + ^'2 Sn^m-'ï -i- . • . 4- «« */; = O,
et, en faisant m = o, i, 2, ... (et en observant que 5„z^/i), on a
Si, -^ aiSa -1 + lti'!ji-l-^ ■ • --^ iia,i =0.
Ces formules permettent de calculer 5,,, ,ç„+i, 5'„+,, ... quand .v,j i, .ç„2, . . . ont été calculés par les formules précédentes. Les formules, auxquelles nous venons de parvenir, montrent que, si les coefficients de l'équation (4) sont des nombres entiers, les sommes des puissances semblables des racines sont aussi des nombres entiers. Dans la suite, nous aurons besoin de remarquer que les formules précédentes sont homogènes, quand on y considère les indices des a et des s, comme jouant le rôle d'exposants. Enfin que les coefficients sont donnés par des équations linéaires quand on connaît
RELATIONS EMRE LES COEFKICIEMS ET LES RACINES. 3l
Quand on connaît Sp pour n valeurs de p consécutives, on détermine les coefficients à l'aide de n équations. Le calcul de s-p peut se faire en faisant usage de l'équation
obtenue en changeant a- en -; pour celle-ci on a, en effel.
