Livre IIL Méthode de Cauchy et de Lie

Appendice. Méthode de Lie comme synthèse des idées antérieures (§ 35).

Cet arrangement est rigoureusement didactique, c'est-à-dire, que du commencement à la fin nous pénétrons de plus en plus profondément dans notre sujet. 11 est en même temps historique dans ses grandes lignes, à une exception près : la méthode de Cauchy est antérieure de beaucoup à tous les travaux résumés dans notre livre deuxième. Nous avons été amenés à placer la méthode de Cauchy à la fin de notre mémoire, avec celle de Lie, parce que cette dernière est la suite naturelle de la première, el que, réunies, elles constituent une étude plus approfondie de la question de l'intégration des équations aux dérivées partielles que les méthodes de Lagrange, de PfalT, de Jacobi et de Bour.

Dans notre Introduction, nous donnons d'abord, d'après Lagrange (1772 et 1774) et Lie (1872), la définition du problème de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Nous indiquons ensuite, d'après Jacobi, deux moyens généraux et très-simples de faire disparaître la variable indépendante des équations en question. Nous montrons , contrairemerit à l'avis de Bertrand et d'autres géomètres, que le second procédé de transformation de Jacobi n'est pas illusoire (§ 1). Les deux paragraphes suivants contiennent la théorie des équations aux dérivées partielles, à 3 ou à (n h- 1) variables, telle que l'a découverte Lagrange en 1774, au moyen de sa féconde méthode de la variation des constantes arbitraires. Nous avons ajouté toutefois à l'exposition de Lagrange diverses remarques empruntées à Jacobi et une méthode très-simple de génération des équations simultanées. Le dernier paragraphe est consacré aux vues de Lie sur le sujet traité dans les numéros précédents et à l'explication du paradoxe relatif aux constantes supplémentaires.

Le livre premier contient l'analyse des travaux de Lagrange et de Pfaff. Nous avons exposé, avec prédilection, ces recherches déjà anciennes, d'abord parce qu'elles contiennent le germe de maintes découvertes ultérieures, ensuite parce qu'elles sont susceptibles d'une foule d'applications que l'on traite plus simplement, par ces méthodes, que parles méthodes plus savantes de Jacobi ou de Cauchy.

Le premier chapitre traite des équations linéaires, dont Lagrange a trouvé la théorie en 1779 et en 1785. Notre exposition ne diffère de celle de nos devanciers qu'en ce que nous employons davantage la théorie des déterminants fonctionnels. Dans le dernier paragraphe, nous donnons l'extension de la théorie de Lagrange faite par Jacobi, en 1827. 11 est assez étonnant que ces recherches du géomètre de Berlin soient passées sous silence dans tous les traités , et même dans les mémoires récents de Graindorge et Imschenetsky, car seules, elles font comprendre l'étroite connexion qui existe entre les équations aux dérivées partielles et les systèmes d'équations différentielles du premier

ordre (voir le n* 32). En passant, nous avons fait connaître sous (|iiel point de vue Lie considère les équations linéaires (n" 25).

Le second chapitre contient l'analyse des travaux de Lagrange -iir les équations non linéaires. C'est en 1772 que le géomètre de Turin trouva le moyen de ramener l'intégration des équations non linéaires à trois variables à celle des équations linéaires à quatre variables. II revint sur le même sujet en 1774, pour faire connaître les diverses intégrales des équations aux dérivées partielles, et en 1806,. pour expliquer un singulier paradoxe que présente la théorie de l'intégrale générale. Nous faisons connaître la méthode de Lagrange sous ses diverses formes. En premier lieu, le grand géomètre observe qu'intégrer l'équation

c'est trouver une valeur de p, telle que

dz = pdx -+- Kdy

soit intégrable. Ensuite, il indique le moyen général pour trouver une valeur de p avec une constante arbitraire, ce qui est le germe de la méthode de Jacobi. Enfin, il montre comment on peut déduire la valeur la plus générale de :r, de la valeur la plus générale de p, ce qui est le germe de la méthode de Pfaff.

Jacobi, en effet, en appliquant la méthode de Lagrange, sous sa dernière forme, aux équations à n variables indépendantes, a été amené, en 1827, à refaire en sens inverse tous les calculs de Pfaff. Nous exposons ce curieux travail de Jacobi dans notre chapitre IIL Le géomètre de Berlin ramène lintégralion d'une équation non linéaire à celle d'un système d'équations simultanées dont la solution est plus générale que celle de l'équation donnée. Pour particulariser cette solution et en déduire l'intégrale cherchée, il est forcé de faire un changement de variables : (2n — \) variables x, , ..., x, , p, , ..., p„ ^, sont remplacées par les constantes de l'intégration des équations simultanées auxiliaires, et la question se ramène dès lors à l'intégration d'une équation différentielle totale à (2n — i) variables.

Pfafif, dès 1814, avait suivi précisément une route inverse, comme nous le montrons dans le chapitre suivant. Pour intégrer

l'équation

p„ = x{z,Xt,..,x„,p^,...,p„^i)

il considère l'équation différentielle totale

dz=p^dXi ■+■ ••• -H p„--idj7„ 1 -4- xdx„

à 2w variables, z, x,, ...,x„,pi, ..., /)„i, et la transforme en une autre de même forme à (i2« — \) variables. C'est précisément celle que Jacobi a trouvée en généralisant les dernières recherches de Lagrange, et PfafFy arrive en intégrant le même système d'équations que Jacobi. Les deux méthodes sont donc identiques, sauf que l'une est, plus clairement que l'autre, la généralisation de la méthode de Lagrange, et que Pfaff traite, en outre, le problème général de l'intégration des équations différentielles totales, qui porte son nom. Dans notre exposition des travaux de Pfaff, nous nous aidons de divers écrits de Gauss, de Jacobi et de Cayley. Le dernier paragraphe du chapitre IV contient, outre le problème inverse de Pfaff, la simplification introduite dans toute cette théorie, par l'emploi des valeurs initiales des variables comme constantes arbitraires. Le problème général de Pfaff conduit à intégrera systèmes d'équations simultanées dont chacun ne peut être formé qu'après l'intégration complète de tous les précédents. Jacobi, en 1856, profitant d'une idée de Hamilton, montra que l'on peut former immédiatement ces n systèmes, si l'on prend, comme nous venons de le dire, les valeurs initiales des variables pour constantes arbitraires; de plus, s'il s'agit de l'intégration d'une équation aux dérivées partielles, il n'y a plus qu'un système à intégrer. Cauchy, longtemps auptu-avant, en 1818, était arrivé à ce dernier résultat, en employant aussi les valeurs initiales des variables comme constantes. C'est à lui , d'ailleurs, qu'est due l'introduction de cette idée dans la science, mais Jacobi semble avoir ignoré les travaux de Cauchy.

Tel est le cycle des recherches exposées dans notre livre premier. Nous avons joint à chaque théorie les applications que l'on