BAR = (X.{M,R)), ABR = (M,(X,R

B— = (N,-—K A — = M, — |, Sx \ Sxl Sx \ Sx]

( 154 ) D'où, en tenant compte des formules (i), (4,) du § 46, (N,(M,R))-(M,(N, R))

On tire de là, en faisant passer tous les termes dans le second membre, au moyen de la formule (1) du § 16 :

ce qui est le théorème fondamental de Jacobi.

Corollaire. Soient M=a, N = 6 des solutions de l'équation :

il résultera du théorème précédent que l'on a aussi, pour solution (M , N) = c. Car l'équation fondamentale donnera :

(M , 0) -4- (i\ , 0) -t- (R , (M, N)) = 0, ou

60. Démonstration de Dotikin (*). « Si M, N, R sont des fonctions quelconques des i2n variables Xj, ... , x„, p,, ... , p„, on a :

Si l'on développe cette expression, il est évident que chacun de ses termes se compose du produit d'une dérivée du second ordre de l'une des fonctions M, N, R par des dérivées du premier ordre de chacune des deux autres fonctions.

(*) Nous empruntons cette citalion textuelle de Doskin à Imschenetsky, p. 145. La démonstration de celui-ci repose sur l'emploi de la formule (6'") du § précédent pour exprimer (M,(N, R)) (N, (R, M)), de la formule (4i) pour exprimer (R, (M,N)). On ajoute les résultats trouvés, et on permute deux fois, circulairement , dans la nouvelle équation, les lettres M , N, R. On trouve le théorème de Jacobi , en ajoutant les trois dernières relations obtenues.

Considérons les termes contenant des dérivées du second ordre de M; ils seront de l'une des formes

iXiSpj Sxj Spi SxfSXj Spi Spj SpiSpj Sxi Sxj

i pouvant être égal àj, et chacun d'eux proviendra du second ou du troisième terme de l'équation (e).

En examinant maintenant chacune de ces formes, il est aisé de voir que, à chaque terme provenant du second terme de l'équation (e), en correspond un serablahle, mais affecté d'un signe contraire, provenant du troisième terme de cette équation; et comme la chose est vraie pour les termes où entrent les dérivées secondes de N et de R, il s'ensuit que le premier membre de l'équation (e) tout entier se réduit identiquement à zéro. Donc le théorème est démontré. »

$ 18. fa»*«t»e« <f<v«f«e« <fe« condition» d'inlégfabililé «TMMe é^têmlioM ut»a> dét'iwée» pttt'UvU^* (*).