Première forme des conditions d'intégrabilité ("). Soit

H. (x,,a'i,...,ar„, p.,p„...,p„) = ai (H,)

une équation aux dérivées partielles à intégrer, Pt,pi, ... , p, désignant comme plus haut les dérivées d'une fonction inconnue z, par rapport à aci, Xj, ... , x,. On a :

dz ■= PidXi -H Pi'iXi H h pndx,, .

Pour trouver une intégrale complète de l'équation donnée, il

(*) Hésuraé de Jacobi, Nova methodus , §§ 2-17 el 50-52. Ce résumé se trouve également dans iNscucNCTSKr, §§ 10-11, pp. 32-36; § 13, pp. 41-42; § 15, pp. 43-48; § 17, pp. 53-62; §§ 20-22, passim ; Graisdorge, III, pp. 13-30; IV, pp. 30-35; Vil , passim. Nous croyons qu'il vaut mieux réunir tous les théorèmes du même genre, comme nous l'avons fait ici. que d'eu mêler quelques-uns à la méthode d'intégration elle-même.

(•*) Jacobi, Nova melh., § 2. Nous ajoutons la forme {!').

suffira d'avoir, outre cette équation, (n — 1) autres relations do même forme, contenant chacune une constante arbitraire

Hj(d?i,...,a;„,/),,...,p„) = aj (H^)

Hs(iCi,...,a;„,pi,... ,p„) = a3 (H-)

H„(a;,,...,a;„,p,,...,p„)=fl!„, (H„)

pourvu que les valeurs de pi,pi, .-.,/?„, déduites de ces équations (H) ,

p, = 7r^(x,,Xi,...,x„,a,,a^,...,an), K)

Pj = irj(a;j,a;j,... ,a;„, a,,aj,... ,a„), (t^)

Pn=^n{Xi,Xi,...,Xn,ai,ai,...,an), (T„)

rendentrfz intégrable. En effet, s'il en est ainsi, on pourra trouver, par une simple quadrature, une expression pourz, contenant, outre les [n — 1) constantes arbitraires a^, 03,..., a„,, une w'*"' constante arbitraire provenant de l'intégration de dz. L'expression de z satisfera non-seulement à l'équation donnée, mais à tout le système H.

Les conditions d'intégrabilité de dz, sont, comme on le sait,

Sxk SXi SXk Sxi

i et k recevant les valeurs 1 , 2, 5 , ... , w. On remarquera que ces conditions peuvent se mettre sous la forme

(p. —'T.-, Pi — Ta) = 0 (1')

62. Seconde forme des conditions d'intégrabilité (*). On obtient cette seconde forme en remarquant que l'on a

[H,-,H,.] = (a.-, aA) = 0,

(*) Jacobi, Nova meth., §§ 14-16. La relation qui conduit au théorème direct étant résolue par rapport à j-^ — -1^— conduit au théorème réciproque. C'est ainsi que fait Jacobi dans le § 16, résumé par Graindorge, IV, pp. 30-33. Nous avons suivi Jacobi pour la démonstration du théorème direct, comme

et développant la première expression au moyen de la formule (6')

du § 16, où l'on fait

a, = T,, p = H,, v'=Ht, Il vient ainsi :

D'après les conditions fl), le second terme du second nombre est

nul. Donc

(H., Hi) = 0 (H)

Réciproquement les conditions (//) entraînent les relations (/). On a, en effet, identiquement :

p, = T, (a;i,...,a;„, H,,...,H„), Pt = Ti{x^,...,x„, H,,...,H„).

Imschenetsky, § h , p. 33, et nous avons simpliGé la démonstration donnée par ce dernier, n° 40, p. 55 pour le théorème inverse. Dans le § 14 de la Nova methodus, Jacobi donne une autre démonstration des formules (il), en se basant sur les formules (IV) données plus bas. Soient

Pi = 'fi(*ii ■■•,^n,ai,a^,p.,...,p„),pi=:i'i(Xi,...,x„,ai,a^,p.,...,pn).

Les relations

Hl(a:i, ... , Xn , *i , f J.P5 . ••• .PJ = "l . «i {*l, ••• , «n.'^l . 'fi ,Pi , ■■■■,Vn) = «•* ,

seront des identités. On lire de là, pour H = Hj ou H = H,.

«iX Olf/j CX O'ij OX

oH 5H o[pi — ^i) £H 5 [Pi — -^t)

Sx ôpi èx Spi Sx

puisque p,, p, ne contiennent pas x explicitement. On a de même , oH ^ èH ô'Pi — «Pi) gH S{pî—-^f) Sp Spi op Sp, cp

même pour p ^ p, ou p = 2. Il résulte immédiatement de ces formules

ce qui donne l'équation (II), quand l'équation (IV) existe. Cette démonstration nous semble peu naturelle, parce que les théorèmes (III) et (IV) sont plus compliqués que II, ou au moins conduisent à des équations moins symétriques. Il vaut mieux démontrer ces théorèmes II et IV, indépendamment les uns des autres.

( 158 ) Donc, d'aj)rès la formule (8") du § 16 ,

Le premier terme du second membre est nul à cause des équations (2); le second est nul parce que tt; et tt^. ne contiennent pas les /) explicitement. Donc la relation précédente se réduit à

c'est-à-dire, à la condition (I).

On arrive au même résultat, mais plus péniblement , au moyen de la formule (6 ) du § !(> (*).

63. Troisième forme des conditions d'intégrabiiité (**). Supposons que l'on déduise des relations (H) ou (:t), les expressions suivantes des p :

Pi = fi{Xi,-..,x„,a,,p^,p^,...,p„). (?,)

Pi=9Axi,-.-,x„,a,,a^,p^,...,Pn), (f^)

Pn—?n(Xi,...,x„.ai,a^.a,,...,a„) — 7r,,. . . . (?„)

de sorte que chaque p est fonction des 2« lettres qui le suivent dans la série

On îiura identiquement :

pi=^fi{Xy,...,x,„ Hi,...,H,, pi^u P,+ï, •••,?«),

Pk=fk(x^,...,X,„)^^,..., Hi,pt..|.i,Pi-H2, ... ,p„).

{*) Imschenetsky, n» 40, pp. 55-57.

(**) Jacobi, Nova-methodus, §§ 3,4,5, ihéorème direct; § 6, énoncé général; §§ 7 et 8, théorème inverse, résumé par Graindorge, n" 24-26, pp. 20-25. Imschenetsky donne le théorème direct, sous une forme un peu différente de celle de Jacobi, n" 41 , pp. 37-60 ; il évite !a longue démonstration du théorème inverse, comme on le verra à propos des théorèmes (VI), (VU) et (VllI), en note. Jacobi, Nova methodus, §§ 9, 10, 11 s'occupe de la marche générale de l'intégration.

( 159 ) Donc, d'après la formule (8") du § 16, rappelée plus haut :

ou encore , comme il est facile de le voir,

(Pi~ri.pk-ri) = 0. (lin

La réciproque est vraie, c'est-à-dire que les équations (III) ont pour conséquence les équations (I) ou (II). Pour le montrer, remarquons que l'on a identiquement.

pn -i = f»-i (x,, X, , . . . , ar„, a,, Oj, Oj, . .. , a,i, t„) = s-,i . Pn=?n^x^,Xt,...,x„,a^,at,a., ...,an-t,a„)=^T„.

Nous allons montrer au moyen de ces formules, par un calcul de proche en proche : 1 ° que l'on a :

^X„ SXi

T que

SXk SXi

Pour démontrer le premier point, nous remarquerons que l'on a :

i Stt,, dfi Sf„ ifi ?f„ I Sfi ''^i+i ^fi <?:

„ SXj dXn ^Xi Sx„ SXi \^^i+i Sx„ S:r„ ii

Supposons que les relations (I) soient démontrées pour l'indice ;<, et les indices plus grands que i , on pourra remplacer

Sx„ Jx„ Sx„

par

iXi^l SXi+i Sx„

( 140 ou encore par

^fn ^fn S?n

puisque est 7i:„ est identique à ,?„, On aura donc, au lieu de la dernière égalité ,

SXn ■SXi~ SXn SXi'^^'^"''^'''

c'est-à-dire, d'après (III),

Sri St„

SXn SXi

Ainsi, la relation (I) subsiste pour l'indice n et l'indice i, si elle subsiste pour l'indice n, et les indices supérieurs à {. Or, elle est évidente pour les indices n et w, donc aussi, de proche en proche, pour les indices net(w — 1), net (n — 2), w et (n — 3),..., net 1.

Supposons maintenant, pour démontrer le second point, que la formule (I) subsiste pour les indices

A; et î -4- 1 , /c et i -H 2 , . . . , A; et n , A + 1 et i, A-h2 et !,...,n et î,

je dis qu'elle subsiste aussi pour i et A:, et, par suite, qu'elle est généralement vraie. En effet, on a

STTi 'J^t dfi

dft

Sfi__

^fk ^iSfi Sr

Sfk Sr

Sxk Sxi dXk

dxi

Sxk

Sxi • ■" ( Sr Sxk

Sx Sxi

la somme s'étendantà toutes les dérivées de y, et de y^t, ce qui n'a pas d'inconvénient puisque les dérivées de y, par rapport au t d'indice non supérieur à i, et de celles de y^, par rapport aux t d'indice non supérieur à k sont nulles. D'après l'hypothèse, on pourra remplacer

StT StTic StT STTi

par - — ! --— par - —

ôXk Sx Sxi Sx

D'ailleurs, d'après (III), le premier terme du second membre

SXk S Xi \Sp Sx Sp Sx

Donc,

c'est-à-dire ;

Sxk Sx

k ^y\SfiH^k—?k) ^?kS{7ri-f,))^ 7i \sp Sx Sp Sx S

S(ri-

fi) s(xi-n)\

On peut sans inconvénient, dans la dernière ligne, mettre (tj — »,), (îTi — Çi) au lieu de (— ?,), (— y*) puisque t., t^ ne contiennent pas p. Donc

St, Stti.

On peut transformer le second membre de cette équation d'une manière remarquable. On a, en effet, successivement, en désignant par s',, f'j, ... , f'„ les valeurs de y données plus haut et égales aux tt, et reprenant l'avant-dernière expression de ce second membre :

df'i Sfi df'k Sfi

{^i — fi,^k — fk) = —2

dx Sx dx Sx ^ SjFk^

Sp ' Sp

Sfi SfTj+i

Jjr,-^, Sx

Sf'i St„ Sfi Sft+i

iïi

li'lk'

SXn Sx Ja'i-H Sx

Sfk Sp

^f'i' Sf't' iSTi> SfTk-

St Sx

SfTi- Srk> iSxf Sxi'

i' devant avoir les valeurs (î -4- i), (t -+- 2) , ... , w, ^' les valeurs (A: -f- i), (A -t- 2), ... ,n. Pour ces valeurs, on a, par hypothèse.

Sxif SXi

( 142 ) Donc enfin

(T,— if,-, Ti — Pa) = 0 , (111")

Sxk Sxi pour toutes les valeurs de i et de k.

6J. Quatrième forme des conditions dHntégrahilité (*). Si l'on substitue dans les (»« — \) premières équations », la valeur de/î„, déduite de la m'*^, puis la nouvelle valeur de p„i dans les (m — 2) premières et ainsi de suite, on arrivera à m relations de la forme :

Pi='^i(Xi, ..,x„,ai,...,a,„,p,n+,,...,p„), .... (^,)

P„,= ']'m{Xt,... ,X„,ay,...,a,„,Pm+l,...,Pn) = ?m ■ ■ (-^î)

C) Jacobi , Nova melh , § 15, donne le théorème direct comme nous l'indiquons dans le texte, la forme seule des formules étant différente; Grai.ndorge a résumé celte démonstration , n 27, pp. 25-29, Lmscheketsky, n° -42, pp 60-62. Ni l'un ni l'aulre ne s'occupent du théorème inverse. Jacobi, Nova meth., § 12, donne en outre la remarquable démonstration suivante du théorème et de sa réciproque; elle est déduite du théorème (V) donné dans le numéro suivant, en faisant (m -H 1 ) = A:. Posons :

p,=if),-(x„....a;„,o,,...,oA j,p*,pi+i,..., p») = Xi (xj,..., x„, a,,...,ax i, ?/.,pA-t:i,.. ,p»), jJt=t*(aci, •••,acM. a,... ,ai|,ai,;)A+i,...,p«) = ?i (x„...,a;n, Oj,.. ,ak,f>k+\. ... ,p,i].

On aura ^ (P'' — %<) ° (P» — 't^»') , f^ ^ fpt — ?*)

OX ~ èx ëpi: Sx

D'où

" Pi — %■) ^ (Pi — '^i) ^ 0 (PA- — yi) ^ op op opil op

(Pi — Xi, Pk - ?A) = {pi — ■i'i, pk - ?*) -+--- (P* - 'fk,Pk — ?X) ,

c'esl-à-dire simplement:

Pi - %i>PA — ?«) = "• ■ [X'S'")

Jacobi l'ait Irès-bien remarquer que p,- et pk peuvent représenter deux p quelconques, parce que dans les formules (V), on peut remplacer [m -*- 1) par un indice quelconque. Le théorème que nous démontrons ici en note est donc plus général que les théorèmes (III), (IV), (V). Jacobi ne démontre pas la réciproque de (IV), mais (IV") entraîne (V) qui a pour conséquence (111) et par suite (II) et (I).

On démontre, absolument comme au numéro précédent, que les équations (I) (II) entraînent les suivantes et réciproquement :

-; ^^ = (-^.. -fi), (")

éXt oXi

(Pi-'t'i,pt-'i't) = 0, (ivo

(^.-4'., 'r*-*i) = 0; (IV")

i et A- sont supposés tout au plus égalix à m.

65. Cinquième forme des conditions d'intégrabilité (*). Considérons les conditions d intégrabilité sous la forme (III), pour les indices i , 2, ... m et (m -+- 1 j :

(Pi — P. , P-+1 - fm+i) = 0 ou «t», = 0, (P«— ?î.P«+i -?«+«) = 0 ou «l>j=0.

(p»-i -I ?»-i,p»+i — ?«+i) =0 ou <t>«i = 0, IPm — ?» , P-+I - ?»+«) = 0 ou *™ = 0,

et voyons, ce qu'elles deviennent quand on y introduit les fonctions '!>i,i'i, ... , ii„, à la place de ?i, ?», —,?«} par les substitutions indiquées au commencement du n° précédent. Je dis qu'elles se transforment dans les suivantes :

(Pi— 'r'i,P»+^ — F-H-i) = 0 ou '«,=0,

(p. — 'i'f P-H-i — f-+i) = 0 ou H j = 0.

{Pm-l — ^—1, P-4-1 — rm+l) = 0 ou H«, = 0, (P« — rm , P-M-1 - P»+i) = W ou H^ = 0.

La chose est évidente pour la dernière puisque ■{/„ = ■^,„. Pour déduire y., = 0 de 4>.i =0. remarquons que l'on a :

-«-1 = P»-i (iCi,a;j, ..., j„, a, . flj. ...a«i, i^, p«+i, .., pj-

f) Jacobi, Kova methodus, §§ 9-1 1 , Ihsche.netskt, n" 71, pp. 95-94 ; Grain- DORGE, n» 27, pp. 25-29.

( 144 ) Par conséquent :

Sx Sx S<p„^ Sx

S{pm-i — <Pm~^) S (Pm-1 — ?m-i) S {p„-i — f„-t) Sf„,

Sx Sx Spn Sx

On a aussi, pour tous les p, p„i et p„ non exceptés :

J(Pm-t — <i>m-l) S{p„^i— jg^-i) S {pm-i — f„-i) Sf,„

Sp Sp Sp,„ Sp

11 résulte de là que

(Pm-l — Im-l, Pm4-1 — Fm-i-l) = (p»l - 5»m-j, pm+l — Pm+l) H r (?>„, pm+l — fm+j)

ou plus simplement :

On démontre de la même manière que :

Sf>m-i Sfm-t

. ''S'm-S . Sf„^z ^ Sf„^i

dpm 2 àpm-l àp„

<^Pï rf/>3 àp„

Ces relations entre les W et les $ prouvent que les équations (V) sont une conséquence des équations (III) correspondantes et réciproquement.

( Uo )

66. Sixième, septième et huitième forme des conditions d'intégrahilitè (*). Les équations ^ peuvent être supposées mises sous la forme suivante :

/•, (a:,,...,a:„,p,,Pï,P3,...,p„) = H, = a, (/;)

/; (a:,,...,rr„,a,,p,,p3,...,p„) = aj, (/•,)

/■„(a;,,...,a;„,a,,Oj,.,. ,a»i,p„) = a„ ■ ■ (fn)

En remplaçant Pi par sa valeur Çi(xi, ...;a:„, a,,..., a^, pi^<, ...,p„) dîins fi, on aura l'identité

fk(Xi,...,x„,a^,...,ak,fk,Pk+\, ...p„) = at. On en déduit, en dérivant par rapport à l'un des x ou des />,

^__^^^ ^(Pi — Pi) (J'a; <?Pi Ja; Jpi d'à;

Jp ^Pi (}> ^pi ^p

(*) Jacobi, Nova methodus, §§ 30-32. Jacobi ajoute celte remarque: Si l'on remplace dans {fi, ft), Op par /j, soit dans l'une, soit dans l'autre, p étant plus petit que le plus grand des nombres « et k, on aura , en appelant fi' et ft' les nouvelles fonctions, d'après la formule (6) du § 16,

On conclut de là que le théorème VIII reste vrai quand on remplace une constante Op par sa valeur fp, par la méthode de proche en proche; d'où en éliminant ainsi successivement toutes les constantes, on retombe sur (Hi, Hi) = 0. Imschenetsky donne les théorèmes directs, n" 75, pp. 95-96; n" 84, pp. 111-112; la réciproque, en substituant Hpà ap.noSo, pp. 1 12-1 15; il indique la démonstration de Jacobi, n'Sô, p. 115. Grai>dorge donne le théorème (VI) ou (VII), n" o2 , pp. 35-55, et ne s'occupe pas du théorème réciproque.

Sous la seconde forme, la dernière formule subsiste même pour p=Pi. On a, d'après ces relations :

(p.- — ?i Jk) = j-{Pi — ?i,Pk-fk),

àpk

(P« — ^i, Ah-i) = ■; ( p. — "P.- , Pm+I — Fm+l) ,

opm+l

SU Sfk (/■mA) = 7- J-(P.-?'.,P*-F*)• £'Pi àph

Donc, d'après les formules (III) et (V)

(p,-jp,,A) = 0, (VI)

(p.-^i.A) = o, (VII)

(A,A) = o (VIII)

II est clair que, réciproquement, les équations (VI), (VII), (VIII) entraînent (III) et (V) et par suite (I).

Remarque. Nous avons ainsi quatre systèmes de conditions d'intégrabilité : 1° Le système primitif (I); 2" le système (II); 3° le système (III) ou les équivalents (VI) et (VIII); 4° un système composé des équations (IV), des équations (V) ou (VII), puis des équations (III) nécessaires pour avoir autant de conditions que dans le système (I). Toutes ces conditions d'intégrabilité ont une forme éminemment simple que l'on peut représenter par

M, N étant deux des fonctions tt, ou H, ou f , ou i/-, ou i/" et î>, ou 5> et f\ ou if et /", ou f.