XIV

tégrale générale de l'une des équations données, de manière à satisfaire aux autres équations; on transforme ainsi le système en un autre qui contient une équation et une variable de moins. Les calculs auxquels nous avons été conduit pour démontrer les principes de cette méthode, auraient été extrêmement longs, si nous n'avions largement employé la théorie des déterminants. La méthode de Boole (i8G5),qui s'applique seulement aux équations linéaires , procède à peu près comme celle de Korkine. Elle est exposée dans le dernier paragraphe du chapitre V. La méthode de Mayer (1872), qui vient ensuite, s'applique aussi aux équations linéaires, dont elle ramène l'intégration à celle de certains systèmes d'équations différentielles totales. Chaque fois que l'on parvient à intégrer une équation de l'un de ces systèmes, on le transforme en un autre système contenant une équation et une variable de moins. Les nouvelles variables sont les valeurs initiales des variables primitives. En outre, au moyen d'une transformation de variables d'un genre tout différent, on peut faire en sorte de n'avoir à considérer qu'un seul système. Quand il s'agit des équations linéaires auxquelles conduit la méthode de Jacobi, un théorème de Mayer, analogue à celui de Poisson et Jacobi, dont il est un corollaire, introduit de nouvelles simplifications.

Les méthodes de Jacobi, de Weiler et de Mayer, conduisent à chercher une intégrale de systèmes de 2 (n — \), 2 (w — 2), ..., 2 équations différentielles ordinaires, ces systèmes étant respectivement pour les trois méthodes, au nombre de :

Les équations sont supposées ne pas contenir explicitement la variable dépendante. La méthode de Lie, dont nous parlerons plus bas, exige précisément le même nombre d'intégrations que celle de Mayer.

Le li\re troisième contient d'abord l'exposé de la méthode de Cauchy. L'illustre géomètre l'a trouvée dès 1818, en partant de