INTRODUCTION

S i". l^ftmittoM de* éqttalion» anje défirém* paflielte* d» pwmiHief ordt'e. Moyen d'ett faire digpawaitt'e In rat'ittbte dépendante. M nler-pfétalion géainélfique de M,ie.

1. Définition deJLagrauge. Une équation aux dérivées parlielles du premier ordre

est une relation entre une variable dépendante z, n variables indépendantes x,, Xj, ..., or,, et les dérivées premières

dz dz dz

de z par rapport à x,, x„. -, r,. Elle est dite linéaire, si p„p^ ,...,p, n'y entrent qu'au premier degré.

Intégrer l'équation [i), c'est trouver toutes les relations entre

Zj ar,, Xi^ ...,x„, telles que les valeurs de z, p,, p^,..., p„ que l'ou en déduit, rendent cette équation (i) identique.

Plusieurs équations de même forme que l'équation (i) forment un système simultané d'équations aux dérivées partielles du premier ordre, soit qu'il y entre une seule fonction inconnue z et ses dérivées, ou qu'il y en ait plusieurs. Les géomètres s'étant presque exclusivement occupés du premier de ces deux cas, nous nous bornerons ici à l'étude des équations simultanées qui ne contiennent qu'une variable dépendante.

Intégrer un système d'équations simultanées analogues à l'équation (1), c'est encore trouver toutes les relations entre z,Xi,Xif ...,x„, telles que les valeurs de z, pi,pi, ...,/>„ que l'on en déduit, rendent ces équations identiques.

2. Première méthode de transformation. Qu'il s'agisse d'une équation unique, ou d'un système, il est souvent utile de transformer les relations données en d'autres qui contiennent une variable indépendante de plus, mais où la nouvelle variable dépendante n'entre que par ses dérivées partielles. Jacobi a donné, pour atteindre ce but, deux méthodes de transformation que nous allons faire connaître, en nous bornant au cas d'une équation unique (*).

Soit une équation aux dérivées partielles :

F{s,ir,,a;j,....a7„) = 0. (2)

(*) La première méthode se trouve dans le mémoire de Jacobi, intilulé : Dilucidationes , etc. (Jeu ruai de Crelle, t. XX III , pp. 18-20); l'autre, dans sa Nova melhodus, § 1 , el dans les Vorlesungen, leçon 31 , p. 237. Celle seconde mélhode est beaucoup moins pratique que la première, mais elle n'est pas illusoire, comme l'ont prétendu Boole, On the differenlial équations of dynamics (Philosophical Transactions ,1863, pp. 485-501) , p. 489, Bertr.\m) , dans ses leçons au Collège de France, en 1832, 1853, 1868 (Graindorge, Mémoire, qKc., p. 16, note), et, d'après lui, Inscheketsky, p. 45, Grai.ndorge. p. 16, et Mayer (Malhematische Annalen, t. III, p. 437). Ces géomètres ont ailribué à Jacobi une erreur qu'il n'a pas faite, celle de vouloir éliminer deux quantités xj et l entre deux équations. Jacobi war doch nicht so kiirzsicltti<j, lisait Cleuscii à propos de celle prétendue erreur du grand géomètre.

(5) une inicgrale de celle équalion. On aura :

^F êF dF^

Sz dZ àZ

Substituant ces valeurs dans l'équation (1), il viendra

dF /'|«,x.,....x.,-^...,-^|=0 (5)

L'équation obtenue au moyen de celle-ci, en changeant partout ô en d,

I ^ dF\

Idx, dXm \

\ dz dzj

est la transformée que nous cherchons. C'est une équation aux dérivées partielles entre une variable dépendante F et les variables indépendantes z, a-,,...,a:,, dont l'intégration donne immédiatement celle de l'équation {\), comme nous allons le montrer.

Soit ?(F,s,j;j....,x,) = 0 ',5)

une solution quelconque de l'équalion (4). On aura :

dF éz dF dz d ? dj,

Sx, dF

dF Sx,

dx,~ J?

cl, en subslituani dans (4),

Sf df

Sx, ... -^-^

<?« Ss

iO)

Cette équation (7) ne contient pas de dérivée par rapport à F. En la comparant à l'équation (1), on voit immédiatement que l'équation (5) est une solution de (I) pourvu que l'on y regarde F comme une constante (*).

L'équation transformée (4) est homogène par rapport aux dérivées de F. Comme on le verra plus loin, les méthodes d'intégration des équations aux dérivées partielles ne s'appliquent pas toujours directement à cette sorte d'équations. C'est là, sans doute, la raison qui a conduit Jacobi à employer une autre méthode de transformation.