Seconde méthode de transformation. Posons

y = zi, (8)

et supposons z indépendant de t , de sorte que

On tire de (8) :

— trr- ^1= ^L=o (10)

Au moyen de ces valeurs (10), l'équation (1) devient

[dy du 1 dy \ du i\

f{ — .x.,x^,...,x„,-^->-^-,---,-^~]=iO,. . . (11) ' \dt ' " *' ' "' dx, t dx^l dx„t] ^

qui ne contient plus explicitement y, mais où entre une variable t de plus.

Soit F(.v,f,a;.,a;,,...,ar„) = 0 (12)

une intégrale quelconque de celte transformée (H). En général, comme l'a remarqué Bertrand, il ne suffira pas de remplacer dans cette équation (12), t/par^f pour que l'on ait une solution

Y{Zt,t,X„X^,...,Xn) = Q (13)

(*) Comme on le voit, il esl inutile de supposer l'équation (5) résolue par rapport à F, comme l'ont l'ait Imschenetsky, p. 44, et Graixdorge, p. 17, pour démontrer le théorème dont il s'agit dans ce numéro.

de l'équation (I) d'où t disparaisse de lui-même. Mais on ne peut pas conclure de là que la seconde méthode de transformation de Jacobi soit, en général, illusoire.

L'équation (15) est une intégrale, non de l'équation (i), mais

de l'équation

/ dz \ fh-^l—,jr,....,x„pi,...,p,]=0, (14)

où z est regardé comme une fonction de f, Xj, ... x,. Quand on pose dans celle-ci t/ = zt, z dépendant de l, on est conduit à la transformée (1 1), et réciproquement de l'équation (1 1) , on repassera à l'équation (H), en supposant uniquement y = zt. Ainsi, l'équation (15) est une solution de l'équation (14), parce que (12) est une solution de ( 1 1).

Mais pour repasser de l'équation (ii) à Téquation (l)jil ne suffit pas de supposer y = zt, il faut aussi tenir compte de l'équation (9) , qui exprime que z est indépendant de t. Par conséquent, on trouvera une intégrale de (i),au moyen de (15), en éliminant t entre cette relation et celle-ci,

êP <?F

qui est équivalente à (9) et où y est supposé remplacé par zt. Autrement dit encore, on trouvera une intégrale de (1), en éliminant y et ( entre les équations (8), (12), (15).

Remarque. Si l'équation donnée est homogène par rapport aux quantités p, on peut la mettre sous la forme

\dt p„ p» I

La transformée

ne contient pas explicitement f , ce qui est une nouvelle simplifî- ( a lion, comme on le verra plus bas (n" 15).

4. Définition d'une équation aux dérivées partielles , d'après Lie (*). Quand on considère une variable x, qui varie de - oo à -+■ oc^ ou, plus généralement, qui prend toutes les valeurs imaginables, on dil qu'elle est susceptible de recevoir un nombre infini de valeurs. On peut dire, de même, que le système des deux variables .T, y, peut prendre oc^ valeurs, que le système des trois variables .r, y, z, peut prendre oc^ valeurs, et ainsi de suite. En général, dire que le système

peut prendre 00"+* valeurs, signifie que chacune des variables peut recevoir toutes les valeurs imaginables.

Si deux variables x, y , sont liées par wnc équation

X peut prendre 00 valeurs, et à chaque valeur de la variable ;r en correspondra seulement un certain nombre de la variable y; dans ce cas, on dira que le système {x,y) n'a que 00 valeurs, et non occomme dans le cas précédent. De même, (« -+- 1) variables liées entre elles par 1,2,...,« relations seront dites avoir oc", oe"~',..., oo valeurs.

Si l'on regardre x, y, z, comme les coordonnées d'un point dans l'espace, l'ensemble des trois coordonnées x,y, z peut aussi être appelé point, et l'on pourra dire que l'espace contient 00' points, une surface oo^ une courbe 00 seulement. On peut convenir d'appeler point, d'une manière générale, l'ensemble de (n -4- 1 ) valeurs (z,x,, ..., x,,) dites coordonnées, cl espace à {n -^ \) dimensions, l'ensemble des points qui correspondent à toutes les valeurs possibles de ces coordonnées. Si l'on considère parmi les oc"+ ' points de l'espace à(w -4- i) dimensions, ceux dont les coordonnées satisfont à l'équation

f{Z,Xi,...,X„)=:0,

(*) LiE,Nachrichten de Gôllingeji, 1872, n» 16, pp. 32 1 -326, 11° 25, pp.Alô- 489, et pp. 151 sqq.du grand Mémoire : Ueber Complexe, insbesondere Linienund Kugelcomplexe , mil Anwendung auf die Théorie parlieller Differen- Halgleichungen (Malhemalische Annalen, l. V, pp. 145-256). [C'est C.^ucuy qui s'est occupé, le premier, des espaces à. un noml)re quelconque de dimensions (Comptes rendus, l. XXIV, pp. 885-887).]

on a une variété à n dimensionSj contenant oo" points. L'ensemble des points représentés par deux, trois,..., n équations semblables, constituent une variété ù (n — i), (n — 2),..., 1 dimension. Les points eux-mêmes peuvent être dits de dimension nulle.

Dans l'espace à 5 dimensions, on distingue, parmi les surfaces, celle dont l'équation est du premier degré ou le plan :

pX -t- gY — Z -H P = 0.

Le plan est déterminé si l'on connaît ses coefficients de direction p.fj, — i, et l'un de ses points, x, y, z. Son équation, dans ce

cas , est :

piX- x)-hq (Y — y) - (Z - =) = 0.

Un point et un plan passant par ce point constituent un élément de l'espace. Un élément de l'espace est donc déterminé par cinq quantités, dites ses coordonnées,

(t. par suite, l'espace en contient x*.

Parmi les éléments de l'espace, ceux dont les coordonnées

satisfont à l'équation

Miiit en nombre oo*, et sont dits les éléments de cette équation, ou les éléments de la figure représentée par cette équation, si Ton peut ainsi parler. Par chaque point de l'espace, passent»* plans, dont x seulement constituent, avec ce point, oo éléments de l'équation /". Ces 00 plans enveloppent un certain cône ayant le point commun pour sommet. En un certain sens, on peut donc «lire que l'équation /'= 0, représente aux environs de leurs îommcts, oo' cônes ayant chacun, en ces points, oc plans tangents. Dans l'espace à (n -f- 1) dimensions, nous pouvons appeler /j/an ia variété à n dimensions dont l'équation est linéaire par rapport aux coordonnées courantes. Un plan passant par un point (r, r, ,..., X,), a pour équation

et constitue avec le point lui-même un élément de l'espace, déterminé par les (2n -4- 1) coordonnées:

L'espace contient oo^"+' éléments. La figure représentée par l'équation

f{z,Xi,...,x„,p^,...,p„) = 0

est l'ensemble des éléments, en nombre oo^" qui satisfont à cette équation. Ces éléments sont dits les éléments de l'équation ou de la figure correspondante.

5. Nouvelle manière d'envisager l'intégration des équations aux dérivées partielles. Pour Lie, intégrer une équation aux dérivées partielles, à trois variables, par exemple,

c'est trouver toutes les figures contenant oo^ des oo* éléments représentés par cette équation , et telles que deux éléments infiniment voisins satisfassent à l'équation

dz = pdx-\-qdy (17)

De même, intégrer une équation à (n -t- \) variables

/■(z,a;i,...,a;„,pi,...,p„) = 0, (1)

c'est trouver toutes les figures contenant oo" des oo*" éléments représentés par cette équation , et telles que deux éléments voisins satisfassent à l'équation :

dz-=pidx^-\ — -\- PndXn (18)

Si dans l'équation (16), on suppose x,y,z constants, p, q variables, les éléments, obtenus ainsi, satisfont à l'équation (17), puisque l'on a :

do; = 0 , dy=Q, (/; = 0 ;

mais ces éléments ne sont qu'en nombre simplement infini. De même les éléments représentés par l'équation (1) quand on y regarde le point comme fixe, satisfont à la condition (18),

mais sont seulement en nombre oc""'. Les flgures correspondantes ne sont donc pas des intégrales.

Les équations (a) et (6) du n" 2, qui donnent oc""*"' éléments de l'équation (4), transformée de (I ), n'en donnent plus que ac" quand on suppose F constant. De même l'équation (12) du n° 5 et les valeurs de ^, ^, ... , ^ que l'on en déduit, représentent oo"-*"' éléments de l'équation (11), et donnent, par suite, une intégrale de cette équation (il); mais si l'on suppose l'existence de la relation (io) ou (9), ces éléments ne sont plus quau nombre de oc", et donnent une intégrale de Tcquation (I).

§ i. fiéMéfaliot* dv% équations éi troi» rmrinbtm: Théorie «fe l.ag»'attge (').

•. Génération de ces équations, de trois manières différentes.

Soit

une relation entre x, y,z,où entrent deux constantes arbitraires a et 6. On déduira de là :

p = F',(x,y,a,b) q = Fl(x,y,a,b) (2)

Éliminant a et 6 entre ces trois équations, on aura

f(x,y,z,p,q) = 0, ou s=?(a?,y,p,</), (3)

équations aux dérivées partielles du premier ordre.

(*) La distincUoD des trois sortes d'intégrales des équations aux dérivées partielles du premier ordre est due à Lagra>ge (Mémoires de Berlin, 1772, Œuvres, l. III, n» 12, p. 372; 1774, Œuvres, t. IV , n» 41, p. 63, n' 47, p. 74; Leçons, etc., pp. 367 et suivantes). Voir aussi, Pfaff (Mémoires de Berlin, 1814-1813), passim, et Jacobi, Ueber die Pfaffsche Méthode , etc. (Journal de Crelle, t. II, pp. 348-349), et surtout, Vorlesungen, pp. 471-309. Nous nous servons principalement ici de l'exposition d'lMSCHE.>ETSKV, chapitre 1, pp. 9-19. Grai:hdorge, I, pp. 1-9, est moins complet.

Noas recommandons au lecteur une exposition plus simple de cette théorie, donnée plus bas à propos des équations simultanées, et qui ne semble pas avoir été remarquée (n" 12).

( iO )

Si l'on remplace a et 6 par des fonctions convenables de x et de y, il peut arriver que léquation (I) conduise à la même équation (5); il surtira, pour cela, que les nouvelles valeurs de p et (f.

. -JF da JF db

da dx db dx

S¥ da SV db

da dy db dy

se réduisent aux anciennes, c'est-à-dire que l'on ait :

S? da <JF db ^F da JF db

J"» dx ^b dx Sa dy Sb dy

On déduit de ces dernières :

o, b SV a, b <?F

x,y rJa x,y Sb

relations auxquelles on satisfait : 1" en posant 2" en posant

Sa Sb ^

D^— = 0 ou b — rra, (7)

n désignant une fonction (juelconque. Dans ce cas, les deux équations (4) se réduisent l'une et l'autre à

S? s? Stt

Sa Sb Sa

Les deux équations (6), ou les équations (7) et (8) suffisent pour déterminer les fonctions « et 6.

Nous verrons dans le numéro suivant que toutes les solutions de l'équation (2) sont comprises parmi les solutions données, soit par l'équation (1), dite intégrale complète de (2), ou par les équations (1), (7), (8), où n est arbitraire, ce qui constitue Y intégrale générale, ou enfin, par les équations (i) et (6), qui fournissent la solution ou intégrale singulière.

Géométriquement, l'équation (5) exprime une propriété des lans tangents aux surfaces représentées par l'intégrale complète, u des enveloppes de celles ci, que donne l'intégrale générale, >u enfin des enveloppes d'un autre genre représentées par l'inté- ;rale singulière. Les premières enveloppes touchent les suraces (1), chacune suivant une courhe donnée par les équations (1), 7), (8) , les secondes en des points donnés par (1) et (6).

7. Toutes les intégrales de V équation (3) sont données par {i)^ 1) et (6), ou (1), (7), (8). Soit

me relation satisfaisant à l'équation (5), c'est-à-dire telle que

>oit une identité. Posons :

JF J;

dx Sx

5¥ ii Sy Sy

2l tirons de là les valeurs de a et 6, qui seront constantes ou non. Pour ces valeurs de a et 6, on aura identiquement, puisque F est une solution de (5) :

F(aF,y,o,6)=?(a;,y,— , — J; (12)

»u, à causç des relations (tO) et (H) ,

F(ar,y,o,6) = ^(x,y) (13)

Ainsi l'équation (9) devient identique à l'équation (1), si a et 6 ont les valeurs déduites des équations (H). De plus, ces valeurs de a et 6 satisfont aux équations (4), si elles ne sont pas constantes. On a, en effet, pour ces valeurs de a et 6 :

.^F S¥ da S¥ db S'^ ëx èa dx Sb dx Sx '

SV SV da SV db Si

Sy Sa dy Sb dy Sy

( i2 ) d'où, au moyen des équations (H) :

<^F da è? db Sa dx Sb dx ^

S¥ da S¥ db Sa dy Sb dy

Ce sont précisément les relations (4). Ainsi, l'équation (9) est comprise dans l'une des trois intégrales dont il est parlé au n" précédent.

On remarquera que deux des équations (11) et (13) entraînent la troisième, de sorte que l'on peut déterminer a et 6, au moyen de deux quelconques de ces trois relations.

8. Extension de la théorie précédente au cas d'une' relatioti implicite entre x, y, z. L'équation

donne, par dérivation :

SF SF SF SF

Sx Sz^ ' Sy Sz ^ '

et, par élimination de a et 6, entre ces dernières équations :

nx,y,z.,p,q)=0, (3'j

si a et 6 sont dts' constantes , ou des fonctions de x et y telles que

i\ SF /dF da SF db\ SF ^ ,„^ .):— =0, ( 1 ): — = 0. .(i'>

cj Sz \Sa dy Sb dy) Sz

/SF da SF db\ S F „ /dF da SF db\ SF \Sa dx Sb dxj

On déduit de ces dernières, comme plus haut,

SF SF

a.b Sa ^ ^a,b Sb ^

X,y SF x,y Sh ^

Sz Sz

( 13 ) ■dations auxquelles on satisfait : i" en posant

c'est-à-dire , 2?- ou bien :

(la ' rf6

D^^ = 0, c'est-à-dire ^[a,b) = 0, . . . . ■ - (70

r désignant une fonction quelconque. Dans ce dernier cas, les équations (d), à cause des relations suivantes, déduites de (7') :

Srr âr db da^ db (ta

l^'lb~~ dx' dx~ dy' dy'

Bvicnnent l'une et lautre

S^ SV £a

que Ion peut écrire

da ' db da

Le> deux équations (6), ou les équations (7) et (8'), suffisent pour déterminer les fonctions a et b.

Toute relation ,.,,

satisfaisant à réqualion (5 ), c'est-à-dire telle que les valeurs r„p„9, de

dz dz "'dx'dy'

que l'on en déduit, donnent identiquement :

appartient à l'une des trois classes de solutions indiquées plu haut. En effet, déterminons a et 6, par les relations :

P = Pi, ? = gt. (H

p et q étant les valeurs déduites de (2). En comparant l'équation (iO') à

et tenant compte de {M'), il viendra :

On prouvera ensuite, comme plus haut, que les valeurs o et 6 déterminées par les équations {i i ') satisfont aux équations (4' j, ce qui achève la démonstration du théorème (*).

Remarque. L'intégrale générale, donnée par les équations (1') (7') (8') ne comprend pas, en général, la solution singulière, donnée par (!'), (6). En effet, les équations (7') (8') donnent le plus souvent :

èT

qui n'a pas pour corollaires les équations (6).

L'intégrale complète peut se déduire de l'intégrale générale, en

(*) Les explicalions de ce numéro auraient élé inutiles, si Imscheinetskv, §6, pp. 18-19, GRAiNDORGE,n» 10, pp. 7-9, n'avaienllaissë de côté le dénominateur -g- . On sait, par la théorie des solutions singulières des équations diflférentielles ordinaires, que l'on doit soigneusement éviter de (aire disparaître les dénominateurs de ce genre, parce que seuls, très-souvent, ils' conduisent à la solution cherchée, quelque forme que l'on donne à la fonction F, quand les infinis de ^ sont à une distance Unie. D.\rboux (Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, t. IV, p. 158, note 2) a méconnu l'importance de celle remarque.

faisant entrer deux constantes arbitraires dans v. II est clair, d'ailleurs, que l'on peut trouver une infinité d'intégrales complètes (*).