LA MÉTHODE DE LIE, COMME SYNTHÈSE DES MÉTHODES ANTÉRIEURES

§ 53. Kaep«»ilioM de Eiic (*).

1*8. Définition d£S caractéristiques. Les éléments d'une équation aux dérivées partielles :

f{z,Xi,...,x^,Pi,...,p„) = 0, (1)

sont en nombre oc*". Si l'on cherche une figure qui en contienne ce", les coordonnées de chacun de ces éléments devront s'exprimer en fonction de n variables, par exemple, Uj,..., m,i, ar,. Si, de plus, ces éléments constituent une intégrale, ils satisfont (n* 5) à la condition

dz=p^dx,-i Hp„<ir„, (2)

(•) Cet exposé esl fait d'après les écrits de Lie dont les titres suivent : A. Kurzes Résumé mehrerer neuer Theorien (Vorgelegl der Académie zu Christiania, 3 mai 1872) (4 pages). B. Neue Intégrations méthode partieller Gleichungen ersler Ordnung zwischen n Variabeln {ibid , 10 mai 1872) (7 p.). C. Ueber eine n€ue Jntegrationsmethode partieller Differentialgleichungen erster Ordnung (Xachrichlen de Gôttingen, 1872, pp. 32 1-326). D.ZurrA^orie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung insbesondere iiber eine Classification derselben (ibid., 1872, pp. 473-489). Nous n'avons pas utilisé les écrits plus récents de Lie parce que cela nous aurait conduit à faire une exposition complète des transformations tangentielles. Voici la liste de ces antres mémoires de Lie, rangés dans Tordre où ils doivent être lus. 1. Zur analijtischen Théorie der Berilhrungs-Transformationen (Ac. de Ch., 1873; pp. 237-262), 2. Veher eine Verbesserung der Jacobi-Mayerschen Intégrations-Méthode {ibid., août 1873; p. 282-288). 3. Ueber partielle Differential-

( 272 ) c'est-à-dire que l'on doit avoir

dz dxi dxn-i

du du du

En partant de ces relations, Cauchv a ramené l'intégration de l'équation (1) à celles des équations précédentes et des suivantes :

•^Xi Sz Spn dx,J du \^pi Spn SxJ du

(iL^^£dz\^^nsidx^^sidp^\^

\SXn ^Z dXn I 1 ( ^Xi dXn ^Pi dXn \

pourvu que l'on suppose, entre les valeurs initiales des coordonnées de l'élément, la relation suivante :

/•(zj.iTio,... ,a;„o,Pio,-,P„o) = 0 (7)

Parmi les éléments de toutes les intégrales qui contiennent l'élément initial, il y en a une infinité simple (oo*), qui sont communs à toutes ces intégrales. Ce sont les éléments qui sont tels que les coefficients des dérivées de a?, et p,, dans l'équation (S), soient nuls, quelle que soit la valeur de ces dérivées, ces

Gleichungen ■/. 0. {ibid., mars 1873; pp. 16-31). 4. Partielle Differential- Gleichungen 1. 0., in denen die unbekannte Funktion explicite vorkommt {ibid., mars 1873, pp. 52-85). 5. Neue Integrations-Methode eines ^n-gliedrigen Pfaffschen Problems {ibid., octobre 1873; pp. 320-345). Avec les précédents ces divers écrits forment un total de 175 pages in-8», presque entièrement nouvelles , sur la question de l'intégration des équations aux dérivées partielles. [Depuis que cette note a été écrite, ont encore paru les écrits suivants : Lie, Begrilndung einer Invarianten-Tlieorie der Deriihrungs-Transformalionen (Math. Ann., t. VIII, pp. 215-303). Mayer, Directe Begrlindung der Théorie der BerUhrungstransformationen (ibid., pp. 304-312). Veber eine Erweiterung der Lmscheti Integrationsmethode (ibid., pp. 313-318). Ces deux écrits de Mayer ont déjà été publiés, avec moins de développements, dans les Nachrichten de Gôtlingen, 1874, pp. 317 et suiv , 1873, u" 1 1, à l'endroit indiqué dans la note du n» 126.]

éléments satisfaisant d'ailleurs à l'équation (4). C'est en exprimant les conditions que nous venons d'énoncer que Cacchy a été conduit aux équations dififérentielles de cette série d'éléments,

savoir :

dxi dz — dpi

IL y IL IL+p.lL

Parmi ces éléments doit se trouver l'élément initial :

(^OJ^10."->^/.0»PlO> ••• »Pno) (9)

Nous représentons les intégrales du système (8) par les équations

2 = /"„, Xi = fi, pi = f,+i, (10)

les fonctions f dépendant de x„, et des valeurs initiales des variables. Il faut remarquer que x^ est une constante supplémentaire et que p^ est une fonction des autres valeurs initiales, donnée par la relation (7).

Nous pouvons donc énoncer ce théorème: Toutes les intégrales de l'équation (1) qui ont en commun l'élément (9), ou qui se touchent au point

ont en commun une série d'éléments donnés par les équations (8) ou (10); autrement dit, elles se touchent le long d'une ligne représentée par les n premières équations (10). Lie a appelé caractéristique de f, lenscmble de ces éléments communs (*). Corollaire. Deux solutions

d'une même équation f=0, ont une caractéristique commune. En cfifet, des relations

(•; Mémoire B, ihéoréme 1"; mémoire C, théorème a, p. 325.

( 274 ) qui, à cause de /"== 0, entraînent celle-ci :

Sx^ ~ Sx„

on conclut qu'il y a au moins un système de valeurs des quantités X, qui rendent égales les quantités z et />, déterminées par les deux solutions. Ces solutions ont donc un élément commun et par suite aussi une caractéristique commune (*).

129. Méthode de Cauchy. On déduit des équations (dO) une solution de (1), comme on l'a vu (n" 108), en assujettissant les valeurs initiales, considérées comme fonctions de(/i — 1) variables M, à satisfaire aux relations :

dz-o dXiQ dXn-1,0. (f,^

-r = P^o-r-^ »-pn-i,o — - — ' (")

du du du

11 suffit, pour cela, de supposer Zo, Xjo, ...,a;„,,o constants. Éliminant alors les quantités po entre les équations (10), on trouve la solution :

Z = F{Xi,...,Xn,Zo,X^o,...,Xn-i,o), ?. = ■;— ' * ' ('^^

dX

On peut énoncer ce résultat comme suit : Toutes les caractéristiques de { qui passent par un point (Zq, x,o, ...,x„4, ) engendren\ une intégrale de f (**).

On satisfait encore aux équations (11) en posant

et supposant que z^, p,o, ...,;>mo, ^m + t,o> -, 3c„o soient des constantes (n° 111), ce qui conduit à un théorème corrélatif du précédent, quand m = n — 1.

On voit, d'après ce qui précède, qu'en employant la théorie des caractéristiques, l'on peut donner une forme très-simple : 1» à la méthode de Cauchy, ou à celle de Pfaff modifiée par Jacobi,

(*) Cette remarque est nouvelle, mais n'est pas utilisée dans la suite. (**) Mémoire B, remarque relative au théorème premier; mémoire C,

imarniio rplativf» nil iVlénrAmft fl. n. 32d.

remarque relative au théorème a, p. 325.

qui n'en diffère pas cssenlielleraent; 2" à la modification apporl^e par Mayer à l'une et à l'autre.

ISO. Propriétés de deux éléments infiniment peu différents {*). Soit

3= F(ar,,...,xJ,

une solution de l'équation /= 0, de sorte que l'on a, entre deux éléments infiniment voisins , la relation

dz = Pi<tr, -4- h p„clx„;

autrement dit, l'on a :

Si Ion fait varier infiniment peu x, ,... ,x,, les quantités r, Pi, ..., p, varient aussi infiniment peu. Donc deux éléments infiniment voisins d'une intégrale, ou passant par des points infiniment voisins, ont des coordonnées tangentielles infiniment peu différentes, ou sont infiniment peu inclinés l'un sur l'autre. La réciproque de ce théorème est vraie : deux éléments infiniment voisins et infiniment peu inclinés l'un sur l'autre sont tels

que l'on a

dz = p^da;^ h h p„dx„.

Soient, en effet, A et B deux éléments infiniment voisins et infiniment peu inclinés l'un sur l'autre :

(2, Xi, Pi) et (z -f- ^z, X. -4- ^Xi, p,— *- àpi),

Az, ÂXj, spi étant infiniment petits. Appelons a et 6 les points

(s, Xi) ei {z -+- ^z, Xi ■+- AT,)

Par le point a passe une solution de Cauchy, formée de toutes les caractéristiques contenant ce point, et rencontrant en un point

(*) Nous n'avons pas rencontré explicitement Cf lie propriété dans les écril.s de Lie. Le théorème corrélatif de Mayer (n» 129, 6n) peut fournir une démonstration dans les cas où ne subsiste pas le théorème équivalent à la" méthode de Caucby.

c la caractéristique qui passe par B. Appelons C l'élément de cette caractéristique qui passe par c. Si l'élément B converge vers l'élément A, c converge vers a, dont il est, par suite, infiniment rapproché, ainsi que de b. Il en résulte que les coordonnées de l'élément C ne peuvent différer qu'infiniment peu de celles de B ou de A. Représentons-les par

(z -4- A'z, Xi ■+- ^'xi, Pi -+- ^'pi), et posons

A3 = A'z -+- \"z, àxi = ^'Xi •+■ \"Xi.

Puisque A et c appartiennent à une même solution , on a

à'z = p^^'x^ H h Pn^'Xn -4- e,

s étant infiniment petit du second ordre. De même

A"z = (p, -t- A'p,) ^"x, + •••-+- (p„ -+- A'p„) ^"Xn -t- 1',

e' étant aussi du second ordre, parce que B et C appartiennent à une même caractéristique. Ajoutons ces deux relations, il viendra

^z = p^^z^-^ h p„ Aa;„ -t- e",

e" étant infiniment petit du second ordre. Donc, enfin, en prenant la différentielle de z^

dZ = Pi^Xi H — ■+■pn^x„,

dz = PidXi H h PndXn ,

ce qu'il fallait démontrer.

Nous appellerons éléments infiniment peu différents ceux qui jouissent de la propriété dont il est question ici.

11 résulte de là que, pour trouver une intégrale de f = 0, il faut et il suffit de trouver oc" éléments infiniment peu différents (n» 5).

1S1. Congrttence caractéristique; variété caractéristique (*). Considérons deux équations aux dérivées partielles

ayant des solutions communes, et un élément A, commun à ces -olutions et aux équations données. D'après le n" 128, les solutions communes et, par suite, les équations données, contiendront la caractéristique de /" qui passe par A; ensuite, pour la même raison, les solutions communes et les équations données contiendront les 3c caractéristiques de s, qui passent par les éléments de cette caractéristique de f. Donc si des solulioiis communes de deux équations ont un élément commun, elles en ont une infinité double ( oc^). L'ensemble de ces éléments communs s'appelle une longrùence caractéristique des équations données, par rapport à l'élément considéré.

Si l'on exprime analytiquement la génération des congruences caractéristiques, on reconnaît que les fonctions /"et 5; jouent un rôle symétrique dans ces calculs. On en conclut que l'on peut considérer la congruence caractéristique de f^ 0 et s = 0 , passant par A comme l'ensemble des x caractéristiques de 5 qui passent par les éléments de la caractéristique de /" contenant l'élément A; ou, comme l'ensemble des oc caractéristiques de f qui passent par les éléments de la caractéristique de =, contenant l'élément A.

On peut étendre ce qui précède à un nombre quelconque d'équations

ayant des solutions communes, qui se touchent en un élément A. Par cet élément A , passe une caractéristique de f, qui est dans toutes les solutions communes et dans les équations elles-mêmes. Par chaque élément de cette caractéristique, passe aussi une caractéristique de 7, située dans les diverses solutions communes

(•) Mémoire B, première partie du théorème II; mémoire C, premièTie partie des théorèmes b et c.

considérées. Par chaque clément de la congruence caractéristique ainsi obtenue, passe une caractéristique de i/-, située dans toutes les solutions communes et dans toutes les équations, et ainsi de suite. Donc enfin, si m équations ont des solutions communes passant par un élément A, elles ont oo"* éléments communs à toutes ces solutions communes. L'ensemble de ces éléments communs s'appelle la variété caractéristique de ces équations.

CoROLLAutE I. On prouverait aisément, comme au n*^ 128 , que deux solutions communes d'un système ont en commun une variété caractéristique.

Corollaire II. Considérons deux équations simultanées f=0, (f = 0, ayant une solution commune. Les caractéristiques de /"et de y, en un élément commun à cette solution et aux équations données, doivent se trouver respectivement parmi les éléments de -j) = 0, et de f= 0. Il en résulte que ^ = 0 doit être une solution des équations (8), et f= 0, une solution des équations analogues où y remplace /'. On a donc

relation que nous écrirons simplement /"^ = 0. C'est la condition d'intégrabilité simultanée de Jacobi et de Bour. La remarque précédente s'appliquant à autant d'équations que l'on veut, permet de compléter tout système d'équations simultanées, comme on l'a vu (n» 79).

132. Méthode de Lie (*). Si deux équations f = 0, satisfont à la condition f » = 0 , le lieu des congruences caractéristiques qui passent par un point commun constitue une solution commune. En effet, d'abord, ce lieu se compose de oo"~* congruences caractéristiques contenant chacune oo* éléments, donc, en tout oo" éléments. Pour le prouver, il suffît de remarquer que par le point donné {zo, x.o), passent oo"~^ éléments communs aux deux équa-

{*) Mémoire B, seconde partie du théorème II; mémoire C, seconde partie des liiéorèmes b et c.

lions, que l'on obtient, en faisant varier de toutes les manières possibles pio, ...,p,ï,o, et déterminant pn-i,o, Pno, au moyen des équations données. Or, par cbaque élément commun passe une congruence caractéristique; donc il y en a , en tout, qo"~', contenant oc" éléments.

Ensuite, deux éléments infiniment voisins A, B parmi ce groupe de oc" éléments, sont infiniment peu différents. En effet, il est clair que deux éléments infiniment voisins ne peuvent pas, en général, se trouver sur deux congruences caractéristiques passant par des éléments non infiniment peu différents. Nous devons donc supposer les deux éléments voisins en question sur une même congruence caractéristique ou sur deux caractéristiques déterminées par des éléments

(zo, xm, p<o), {Zo,Xio, Pio ■+■ Ap»),

infiniment peu inclinés l'un sur l'autre. 1° Considérons d'abord deux éléments A, B situés sur une même congruence caractéristique. La caractéristique de /'passant par A , qui est une variété à une dimension, rencontrera la caractéristique de s passant parB, sur la congruence, qui est une variété à deux dimensions, en un élément C, infiniment voisin , en général , de A et de B, et par suite infiniment peu différent de l'un et de l'autre. Donc A et B diffèrent aussi infiniment peu, comme il fallait le démontrer. 2° Supposons maintenant que A et B soient sur les deux congruences caractérisées par les éléments initiaux (zq, Xg^, p.o), {Zq, x«,pio -+- '^Pm)- Les coordonnées de A sont exprimées en fonction de x,i, x, , Zo, ■i'»» Pio. Si Ton change dans les expressions de ces coordonnées, p,o en Pio *+" -^Pio, on obtiendra sur la seconde congruence, un élément C, infiniment voisin de A, et par suite de B. Puisque p,o a varié infiniment peu en passant de A en C, C est infiniment peu différent de A; il est aussi infiniment peu différent de B, puisqu'il est infiniment voisin de B et sur la même congruence. Donc enfin, A et B, sont, dans tous les cas, infiniment peu différents, et le lieu des congruences caractéristiques qui passent par un point commun, contenant oo" éléments infiniment peu différents les uns des autres, est une intégrale (n" 150).

On démontre de même que le lieu des variétés caractéristiques de m équations satisfaisant aux conditio7is d'intégration simultanée et passant par tin point, est une solution commune.

Nous avons indiqué plus haut (n<" 124, 126 et remarque finale du n° 127) comment on peut donner aux équations une forme telle que l'on puisse trouver leur variété caractéristique et par suite leur intégrale commune. Dans le cas de deux équations seulement, on ne doit pas transformer les équations données (*).

133. Méthode de Jacobi. Considérons m équations aux dérivées partielles :

satisfaisant aux conditions d'intégrabilité. Supposons que l'on ait trouvé, en outre, A; = (n -+- 1 — m) fonctions fm+^ , ... , /j,^.,, qui satisfassent avec les précédentes et entre elles aux conditions fifi = 0. Je dis que les équations

/■, = 0, ...,/"m = 0,/"m4-l = ai, ••■ , /■n+l= O*, if)

ou celles que l'on en déduit, en les résolvant par rapport à

z,pi,...,pn,

2 = F, Pi = r.,...,p„ = F„, (F)

représentent les oc^""*-*-*" éléments du sjrstème primitif, quand ttj, ... , Oi sont des constantes arbitraires, et que, de plus, z = F est l'intégrale complète commune du système donné. Considérons, en effet, le système

A = o,...,/;„ = o, fnt+i — a^.

Si l'on donne à Oj une valeur spéciale , il ne représentera plus que 00*""*" éléments du système primitif, mais si on laisse «i arbitraire, il représentera de nouveau 00^"+*-"* éléments; ces élé-

(*) Nous avons cité au n» 127, le petit mémoire où Mayer indique les calculs à faire pour établir algébriquement la méthode de Lie, sous sa forme la plus générale. Comparez mémoire B de Lie, théorème III et IV.

ments seront les mêmes qu'avant l'adjonction de f^^i = a,, puisque cette relation, prise à part, est satisfaite par les coordonnées d'un élément quelconque de l'espace, a étant arbitraire.

On peut adjoindre, de la même manière, au système primitif les autres équations f= a, et obtenir ainsi le système (/) ou (F), à la place du système primitif. Si l'on fait varier, dans les équations (F), X,, ... , X,, de quantités inBniment petites, en laissant les quantités a constantes, z, pi, ... , p, varient aussi inâniment peu. Donc les éléments infiniment voisins du système (F) sont infiniment peu différents et constituent une intégrale pour chaque valeur des quantités a. Donc z ^ F est l'intégrale complète commune et l'on a

ou

dF = Fjdr, H 1- F„dx„.

Il résulte de la dernière observation , que l'on peut trouver la première équation (F) en intégrant l'équation

dZ = PidiTj H H PndXn ,

où les quantités p sont remplacées par leurs valeurs déduites des n premières équations /". Ceci suppose toutefois que l'on sache qu'il y a réellement une intégrale complète commune avec k constantes arbitraires, ce qu'apprend la méthode de Lie. ^

Remarque. Ce qui précède contient essentiellement la méthode de Jacobi , c'est-à-dire le mode de détermination de r , au moyen des fonctions f; le théorème de Poisson et Jacobi , et les méthodes de Weiler, de Boole et de Mayer donnent les moyens de trouver les fonctions /*, avec plus ou moins de facilité.

1S4. Conclusion. Les diverses méthodes d'intégration des équations aux dérivées partielles se groupent autour des méthodes de Cauchy, de Lie et de Jacobi. On vient de voir que la dernière consiste essentiellement en une transformation du sys- . tème donné en un autre contenant une équation de plus. Si l'on

pousse cette transformation à bout, on trouve l'intégrale sans autre calcul. Mais on peut l'arrêter quand on veut, et, comme on l'a vu au n" 125, se servir de la méthode de Lie, pour réduire le système à une équation, que l'on peut intégrer par la méthode de Cauchy, chaque fois que la méthode de Jacobi n'est pas plus favorable (voir n"' 125 et 70, Hl).

La théorie des lignes, des congruences et des variétés caractéristiques permet donc de fondre en une seule toutes les méthodes d'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.