MÉTHODE DE LIE, CONSIDÉRÉE COMME UNE EXTENSION DE CELLE DE CAUCHY
§ 33. KaepoaiHon <fe Mfayef (*).
120. Moyen de déduire d'une intégrale complète, une intégrale qui, pour x„ = Xno, soit une fonction donnée des autres variables (**). Soit
2==Zo-t-F(a;„...,aî„,c,,...,c„,) (1)
(*) Nous empruntons ce qui suit à deux notices de Mater insérées dans les Nachrichten de Gôttingen de 1872, n» 21 , pp. 403-420 et n» 24, pp. 467-472. La première est entièrement consacrée à la théorie des transformations des équations aux dérivées partielles. Mayer fait remarquer que les diverses recherches de Jacobi sur ce sujet, tant dans la Nova methodus que dans les Vorlesungen, doivent être soumises à une révision sévère. De son côté, Lie (Nachrichten de 1872, p. 484) dit, à propos des recherches de Mayer, que sa propre méthode permet de traiter facilement la théorie générale des transformations. Nous avons cru, après ces déclarations, devoir laisser de côté toutes les recherches sur ce sujet , parce qu'elles n'ont pas un caractère définitif. Nous n'empruntons à Mater que le strict nécessaire. [Notre travail était entre les mains de M. Qdetelet, quand Mater a publié tout au long (Math. Ann., t. VI, pp. 162-191) son exposition de la méthode de Lie sous le titre : Die LiE'sc/ie Inlegrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen. Dans les §§ 1 et 2, pp. 162-166, il donne la démonstration directe des conditions d'intégrabilité d'un sj'Stème d'équations aux dérivées partielles, seul emprunt qu'il fait dans son exposition à la méthode de Jacobi.]
(**) Mayer, Nachrichten, 1872, n° 21, théorème I", pp. 407-409. Le mode de démonstration est emprunté au mémoire déjà cité du même auteur (Mathematische Annalen, t. III, pp. 449-430). Toute la fin de ce mémoire, pp. 449-432 , est consacrée à la théorie des transformations. [Même théorème, dit théorème I^', mais spécialisé, dans l'exposition complète de Mater (Math. Ann., t. VI, § 3, pp. 166-169). L'auteur énonce explicitement les conditons algébriques relatives à la résolubilité des équations utilisées. Toutes les conditions de ce genre ont été laissées de côté dans notre exposition?]
une intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles, où z n'entre pas explicitement. Posons :
F(, = F (a^iQ, ... ,a/„(),Ci, ... , Cn — i),
F; = F'(a;io,..-,a;„i,o).
Tirons les valeurs de c,, ... , c„i, a;,o, ..', x„i,o des 2 (w — 1) équations :
iL = ££?,..., ^=^£^ (3)
J"Ci Sc^ SCn — l SCn — i
SXi^ SXiQ SXn-1,0 SXfi-lfi
substituons-les dans la valeur de Z et nous aurons une nouvelle intégrale de l'équation. En effet, dans cette hypothèse, on a :
dx Sx \Sc Se j dx \Sxg SxJ dx
ou, d'après les équations (3) et (4) ,
dZ S¥ __ dz dx Sx dx
Z est donc une solution de l'équation.
Faisons x„ = x„q âans les équations (5); il est clair qu'elles seront satisfaites par les valeurs a;, =ario, ..., a:'„i== x„,,o- Donc si l'on fait x„ = x„o, dans (2) il vient
Zx„=x„o = si-+-Fô(a;,,...,a!„i) (5)
Ainsi, on peut déduire de l'intégrale complète, une intégrale qui se réduit à la forme (5) pour a;„ = x„q. Cas particulier. Soit
Fi = Mio-< \-b„-ix„-[,o,
les équations (4) deviennent
SF ^ SF fe, = - — »---,6„i =- »
(257) et l'intégrale nouvelle, pour x„ = x,o, doit se réduire à
Remarque. Les équations (5), (4) peuvent donner plusieurs valeurs pour x,», ..., x,,,o- H faut choisir, pour les substituer dans (2), celles de ces valeurs qui peuvent devenir infiniment peu diflFérentes de x,, ... , x,i, quand x„ approche indéfiniment de x^, sans quoi, la démonstration donnée plus haut serait insuffisante.
1*1. Transformation d'une équation en une autre équivalente {*). Soit considérée une fonction
f (a?,, ... ,a?„, Xj, ..., Xh— i),
de n variables x, et de (n — \) variables x'. Posons :
Sf__d£ Sf dz' Sx\ dx\' Sxn-i ~ dx;i'
et lirons de ces relations (6) les valeurs de
X,, ... ,x,i,en fonction de x,,...,a;; i,x„, — : ••,
dx\ dx;i
Soit ensuite, à cause de ces valeurs :
ix„
V dx^ dxi-i/
Je dis que les équations :
d2 „ / dz dz \
*»/. \ dx^ dx»j/
(*) Mater, iNacbricblen, n» 21, pp. 414-417, théorème IV, énoncé sans demonsiration. [Math. Ann., t. VI, pp. 169-173, § 3, théorème II.]
seront telles, qu'en général, de toute intégrale complète de l'une, l'on pourra déduire une intégrale complète de l'autre et réciproquement.
Soit, en effet,
z = Zo-t-F(a;i,...,a;„,c,,...,c„0, (10)
une intégrale complète de (8). Posons :
z'=z',-i-F,-F-i-f, (il)
en appelant Fo l'expression :
F (dJjQ , . . . , a;„o, Cl , . . . , Cn— i) ,
et éliminons de l'expression (H), c,, ..., c„i, Xi, ..., x,.i, au moyen des relations :
^ = E,...,Jlî. = Jl (12)
Sx^ Sx^ Sx„—i SXn — l
La valeur de z' dans ce cas satisfera à l'équation (9). En effet, on a, pour x' = x[^ ..., x'n^i'.
dz' /<?Fo <5~F\ de y iS? Sf\ dx Sf dx' \Sc Scj dx' \Sx Sx) dx' Sx'
OU, à cause des équations (12) et (13),
dz' Sf
Ensuite :
dx' Sx'
dXn \Sc Se I dx„ \Sx Sx) dx„ Sx^ SXn '
ou, puisque F est une solution de (8), et à cause de (12) et (13),
dXn SXn
En substituant les valeurs (i4) et (13) dans (9), il vient à cause des équations (6) identiques à (14), et de (7) :
ce qui démontre la première moitié du théorème énoncé. Soit maintenant
une intégrale complète de (9). Posons :
en appelant Fô l'expression
Éliminons ensuite, de la valeur de z, les quantités c,', ..., e,i i, •Tj» —i^ù-ii au moyen des équations :
sf; jf'
JP, . JF'
fc\ ^c\
ic'n-\ ^Cm-l
jr Jp
dF' S?
ix\ Sx\
Sx',-1 ?X'n-l
La valeur de z, après cette élimination, sera une intégrale de l'équation (8). En effet, on trouve, comme plus haut, pour
dz J?
ilx Sx et ensuite
dz ^F' ^r „, ^?
dX„ SX-n âX„ dX„
En substituant ces valeurs dans l'équation (8), elle est satisfaite identiquement.
Remarqces. I. Si Ion fait j;„ = x,o dans les solutions précédentes on trouve, comme au numéro précédent, que les solutions z elz' déduites de F' et F, se réduisent respectivement à
*0 "*" f v^l » •••» X«| , X„0,X,g, ... , Xa— |,o),
s'o-*-î'(a;,o....,a:,-i,o,x„,,x', , ... ,xû-t).
II. Si f est une solution de l'équation (8), xj, ... , x'„i étant {n — 4) constantes arbitraires, l'équation (7) donnera :
^f ( Sf S9 \
c'est-à-dire que H' = 0. La seconde équation, c'est-à-dire (9), sera donc :
III. Si H et y contenaient, outre les variables x et x', d'autres variables i/i, ...,?/,„, elles se comporteraient comme des constantes dans tous les calculs précédents et il serait inutile d'y rien changer.
\%%. Transformation d'un système de deux équations (*). Considérons maintenant deux équations, à («-+- 1) variables indépendantes ayant, par hypothèse, une solution commune avec n constantes arbitraires :
dz I dz dz \ ^
dz I dz dz \ ,.„,
Soit
Z=Zo-^f{X^,...,Xn,y,X\,...,x'„-i), '. (20)
une solution de la première, avec n constantes arbitraires. On la
(*) Mayer, Nachrichten de Gôltingen, 1872, p. 467, dit seulement que Ton peut faire disparaître y de (19), si l'on connaît une solution complète de (18). 11 cite le travail de Korkine que nous avons analysé ci-dessus, § 24. Nous essayons de reconstruire la démonstration de Mayer. Si elle ne semble pas rigoureuse au lecteur, qu'il veuille bien admettre comme un postulai la disparition de y de l'équation (22) , en attendant que Mayer publie sa démonstration. Il importe de remarquer que l'idée fondamentale de Mayer, savoir de faire ?/ = 2/0) ne se trouve ni chez Korkine, ni chez Bour. [Notre démonstration est précisément celle de Mayer, mémoire cité, § 4 (Math. Ann., t. VI, pp, 173-176); seulement il donne une démonstration analytique de la non-existence de y dans l'équation (22), tandis que notre démonstration est synthétique.]
trouvera en regardant x„ dans (18) comme une constante. Servons-nous de la fonction =, pour transformer les précédentes en deux autres, d'après la règle donnée au n" 121. La première deviendra (121, Remarque II)
la seconde
dXn
l dz' dz' \
11 est clair qu'à la solution commune des équations (18), (19), correspondra une solution commune des équations (21) et (22); or (:2I) exprime que cette solution ne contient pas y. Dans le cas où les deux équations sont quelconques, on peut faire deux hypothèses relativement à l'équation (22): ou bien, elle contient expliritement y, ou bien y en a disparu. Dans le dernier cas, la -olution complète de (22), avec n constantes arbitraires, est une solution commune des équations (21) et (22), et de cette solution oommune, on peut déduire une solution ï'ommune des équations 18) et (19) avec n constantes arbitraires. Si, au contraire, l'équation (22) contient y, son intégrale complète sera de la forme
s' = 2^ -+- * (j;', , • .. , jfi 1 , -n ,y, fi, • •• ,c,o ,
les constantes contenant y. Pour trouver une solution commune des équations (21) et (22), on devra exprimer que
dz'
dy
équation qui déterminera une relation entre les n constantes, arbitraires, z^, c,, ... , c,,. Par conséquent, contrairement à 1 hypothèse, il n'y aura pas de solution commune aux équations (18) et (19) et contenant n constantes arbitraires.
Donc enfin, l'équation (22) ne contient pas y, dans le cas où les équations (18) et (19) ont une solution commune contenant n constantes arbitraires.
123. Simplification de la transformation précédente. Méthode générale de Lie, pour les systèmes simultanés (*). On peut simplifier la transformation précédente, au moyen de la remarque suivante. Puisque y n'entre pas dans l'équation (22), on peut, pour faire la transformation, supposer que y reçoive une valeur quelconque. D'autre part (n° 120), d'une intégrale quelconque de l'équation (18), on peut déduire une autre intégrale qui prenne, pour y = y^, telle forme que l'on voudra. Donc enfin, pour faire la transformation de l'équation (19), on peut prendre, au lieu de la relation (20), la suivante
ou même, <\i étant quelconque, comme i/oj
On choisira la fonction .f, de telle manière que les calculs soient les plus simples possibles.
On peut donc, au moyen de l'intégration complète de l'équation (18), puis, par une transformation, où entre une^fonction ^^ quelconque, ou bien l'intégrale complète que l'on vient de trouver, ramener la recherche de l'intégrale complète contenant n constantes arbitraires et commune à deux équations (18) et (19), à celle de l'intégrale complète d'une équation (22), contenant une variable de moins.
De même, on ramène successivement l'intégrale de [q -+- 1) équations à (w -+- </) variables indépendantes, et ayant une solution commune avec w constantes arbitraires, à celles de q, [q — 1), {q — 2), ..., 2 équations, contenant respectivement {n -h q — 1), {n-i- q — 2), (n-H q — 5), ..., (7î -+- 1) variables indépendantes, et enfin à celle d'une équation contenant n variables indépendantes
Remarque. C'est au moyen de la méthode de Bour que l'on constate que le système a une solution contenant un nombre de constantes arbitraires égal au nombre des variables moins celui
(*) [Mayer appelle la remarque de ce numéro lliéorème IV, et en donne la démonstration dans le mémoire cité, § 4 (Math. Ann., pp. 176-177).]
des équations. Si le système ne jouit pas de cette propriété , Bodr a précisément indiqué le moyen d'ajouter au système donné les équations nécessaires , pour qu'il la possède.
1*4. Seconde simplification. Théorème fondamental de Lie. Considérons les (m -4-1) équations :
dz ( dz ds \ /Oft \
Effectuons d'abord un changement de variables. Soient :
ti =^o -+-(y — yo)«i.
On aura pour les nouvelles dérivées de z, que nous mettrons entre parenthèses, pour les distinguer du système primitif:
(dz\ dz dz dz dz
dyj dy dt, ' dl, • dt„
Les équations données peuvent donc être remplacées par le système suivant :
-t-K + UjHjH i-u,H„ = 0, (23)
( 264 ) Soit maintenant
z = ZQ-i-f{Xi,...tX„-i,y,Ui,...,u,„,x\,...,x'„-i). . . (27)
une solution complète de (25) , quand on regarde les u comme des constantes. Transformons, par la règle du n" 121, chacune des équations (26), en nous servant de la fonction f qui entre dans (27). Une quelconque de ces équations prendra la forme :
dz'
du
H' étant déterminé par l'équation :
a-j, ..., af„i étant remplacés par leurs valeurs déduites des équations :
(Jf dz' Sf dz'
Sx\ da;\ îJ'a;;,-! dx'„-i
Nous savons que nous pouvons faire y =yo dans H'. Dans ce cas, — H' se réduit à -^ où l'on a fait y = y^. On sait, par la remarque du n° 121, que f, pour cette valeur, se réduit à l'expression
î»(a;io,.-'>a7„-l,o,î/io>Mi,-.- ,iim,X[,...,X'„-i),
que nous appelons y^. Donc enfin, la transformée (28) devient
dz' ^fo du ^u
Par conséquent, la tranformation , dans le cas actuel, remplace les équations (26) par les suivantes :
dz^^Q .,.^^£?o^ (29)
dUi J"w, dUm Su„,
dont la solution commune est :
qui contient n constantes arbitraires.
Comme on le voit, rintëgration du système (25) (24) est ramené à celle de l'équation unique (2o), puisque de son intégrale (27), on déduit l'intégrale (50) du système transformé (29). De Tintégrale(50) on déduit une autre intégrale quelconque, par le n" 420, puis I intégrale des équations données par le n" 121 (*).
125, Mode d'application de la méthode de Lie. Etant donné un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre à intégrer, on le ramène par la théorie précédente à une équation unique, H, :=0. On cherchera, comme dans la méthode de Jacobi, une fonction H^ des x et des p telle que (Hi, H,) = 0. Au moyen de Hj = Ui, on pourra ramener H, à contenir un p de moins. On traitera cette nouvelle équation comme la première, en profitant, à chaque nouvelle intégration, de la remarque suivante : chaque fois que l'on rencontre le cas le plus défavorable de la méthode de Jacobi , on emploie celle de Cauchy, et l'intégration est immédiatement terminée (**).
Comme on le voit, la méthode de Lie ramène sans cesse l'intégration à celle d'une équation unique, la méthode de Cauchy et celle de Jacobi servent ensuite à effectuer l'intégration avec le plus de facilité possible.
116. [Démonstration directe du théorème fondamental de Zie, par la méthode de Cauchy (***). Le théorème du n" 124 revient à
(*) Mater énonce sans démonstration le théorème de ce naméro , dans le cas ou m =: 1, Nachrichten de Gôllingen, 1872, pp. 469 et 472. [Démonstration dans le mémoire cilé(Maih. Ann. t. VI, pp. 183-189), § 7, théorèmes VIII et IX. Mayer applique la méthode aux équations linéaires homogènes, § 8, pp. 189-192. Les §§ 4 et o,pp. 179-183, sont consacrés au cas de deux équations, dont il est inutile de s'occuper spécialement.]
('*) Lie, ibid., pp. 488-489. Il est étonnant qu'une remarque aussi simple ait échappé à tous les géomètres, avant Lie.
(***) Mater, Directe Ableitung des Lie'schen Fundamentaltheorems durch die Méthode von Cauchy (Math. Ann., t. VI, pp. 192-196) et § I de la note plus générale, intitulée : Zur Intégration der partietler Differentialgleichung erster Ordnung (Nachrichten de Gôltingen, 1873, pp. 299-310).MATeR se sert de la valeur de Zq indiquée au n° 1 1 1 pour éviter les cas d'exception. Il laisse quelques points de son exposition sans démonstration explicite.
ceci : il existe une solution de l'équation (23) qui est en même temps une solution des équations (26). On peut établir directement ce théorème par la méthode de Cauchy. Écrivons comme suit les équations (25) et (26) :
dz
— -+-/",(a7i,.. .,a;„i, y, »,,..., m„,Pj,..., p„,) = 0, . . (26,')
Parmi les conditions d'intégrabilité simultanée de ce système, se trouvent m équations qui sont représentées par la suivante :
àUi Sy \Sxt Spk Spk Sxkl
La méthode de Cauchy appliquée à l'équation (25') conduit à la considération du système auxiliaire :
. dXk dz —dpk
Spk ^ Spk ' SXk
On déduit de là le système intégral :
^* = %i(?/)a;io.-.-,a;„i,o,Pto)---,P«-i.o,Mi,... ,«J, . . (33) P* = f* (î/,a?ioi-- ,a;„i,o,Pio, •••,P»-i,o,Wi,... ,«m). . . (34)
= z,^f'(lpkjL^-f)dy^
Xio,--,^„i, ,,Pi05 — jPn-i,oétant les valeurs initiales des variables pour y = y^, et z^ étant une fonction quelconque des u qui contient une constante arbitraire zô. Sous le signe d'intégration, on suppose les p^ et les X/, remplacés par leurs valeurs (35) et (34).
Eliminons pio, ...,/)„i,o entre les équations (33) et (35). Nous trouverons une solution
Z = Z'o-*-F(Xi^... ,X„-i,y,Xio,--- ,Xn-l,0,Ui,...,Um) . . (36)
de l'équation (2o'). Je dis que, si la fonction z^ des u est convenablement choisie, cette solution (36) satisfera également aux équations (26). Pour cela, il suffira que Zq ne contienne pas les u. Pour le montrer, nous devons dériver Z, par rapport à un u quelconque. Cela ne peut se faire qu'indirectement de la manière suivante : substituons dans l'équation (56) à Xi,...,x,,, les valeurs (35), on retombera sur la fonction z de y donnée par la relation (53), sous la forme :
Z = 2;, + F(%i,.-,:<i„-i,!/,a;io,--,^»-i,o,«,,...,0 = 2Ô-t-F*. (37)
On arrive au but cherché en égalant les dérivées des expressions (55) et (37) de z, par rapport à u. On déduit d'abord de (57)
Soit, en éliminant lespo»
Pi = Pi (Xj, ..., a;,i, y, a:,o, ..., a;»i,o, «i, ..., u„) la valeur dep^, déduite de l'équation (54). On aura identiquement
?i= Pi(%i, ..,%„!) y. ari01---»^»-J.O, «i; ...,"m)-
Puisque Z est une solution de l'équation (25'), on aura : - — =Pjt{Xi, ...,ai,i,y, a;,o, ...jir.-i.o, «i, ...,«m), et, par conséquent,
T— =Pi (%l, ••■,'Xn-U y,a;,o,-.-,^--i.O, «1, -M "m) =F*-
Donc la valeur précédente de j— peut s'écrire :
Cherchons maintenant la même quantité, au moyen de l'expression (5o) de z. Il viendra, en supprimant sous le signe d'intégration les termes qui se détruisent,
dUi dUi J \ * dui SxkSui] J ^iii ^'
yo S"»
On peut efifectuer les deux intégrations ici indiquées , en se servant des conditions d'intégrabilité (5i) et exprimant que les équations (55) et (54) satisfont aux équations (32). On a, en effet,
Par suite ,
Spk Sf SXk Sy Sfk Sx^ d fk —, -;; ;: — = ?* — ; »
;,• dy \ ^Ui
dUi Sxk Sui dUi Sy Su
et la condition d'intégrabilité (31) devient, en se servant de la notation /"*, pour f où l'on a substitué les valeurs (33) et (34), des X et des p :
Sui Sy "^ \Spk Sy "*" Sxk Sy j
<^ r , df*
= -r-Ji [Xty- , Xn-l, y,Ui, .. ,M,„, J!'i,...,p„j)=-— .
«y dy
Effectuons les intégrations indiquées plus haut. Il vient :
dUi dUi ^*Sui [^'Suilo /'^/■o-
Pour y = yo, fi, qui contient (y — t/o) en facteur, s'annule et |^ aussi, parce que Xk se réduit à x^o, pour y = y^. Donc enfin
dUi dUi Sui '*
( 269 ) Comparant cette valeur à la valeur (38), on trouve
7ii7-^^*='' ^'"^
si l'on suppose Zq indépendant de i/,, ou
L'équation (39) doit être une identité par rapport à
%n — > Xn-i , y, 37,0, ••• , ar,i.o, «1, ... , «„,
parce que les fonctions %j, •••, %,i, contenant, en général, {n — \) constantes arbitraires pm, -.jp, i,oj sont indépendantes les unes des autres. On a donc aussi, à cause de cette équation (39)
àU
Donc la solution Z de Téquation (25') satisfait aux équations (26'), pourvu que Zo, dans l'équation (35), ne contienne pas^Ies m.
127. Remarques sur la méthode précédente. I. Si l'on applique la méthode précédente aux équations (23) et (24) , on trouve pour déterminer Zq, les équations suivantes :
— -+- Hi (a-io, ... , ar,i,o, xjo, «i,... , M„,pio, ... ,p«-i,o) = 0
qui ne sont intégrables que si l'on a :
On ne peut donc pas appliquer la méthode précédente directement aux équations (23) et (24). On voit, en même temps, que les rondilions de réussite de la méthode résident dans les égalités
/■io = o,...,A,o = 0,
ou dans les équations plus générales (41). La méthode est donc susceptible, en pratique, de diverses modifications.
II. Les conditions d'intégrabilitc (31), écrites au moyen des fonctions K et H, prennent la forme suivante :
Su Sy \Sxk Spk Sftk Sxk I
(Hi S h VXkSpk SpkSXkjS
Si l'on fait décroître indéfiniment vers zéro, dans ces équations, les quantités w, ou si l'on fait converger chaque quantité t vers la valeur arbitraire to, on verra que l'on peut égaler à zéro, dans l'équation précédente, l'expression qui ne contient aucun « en facteur, et le coefficient de chacun des u. On a donc :
J'K SXh I JK ^Hi dK <^H. \
Sti S y [SxkSpk SpkSxk)
fE'£!!î v/<5'Hj<5^Hi ^H"^H,\
êti Sti \SxkSpk Spk Sxkj
Toutes les conditions d'intégrabilité du système des équations (23) et (24) sont donc équivalentes aux conditions (31) et réciproquement. Ainsi s'explique ce paradoxe, que les équations (31), parmi les conditions d'intégrabilité du système des équations (25') et (26'), soient seules utilisées dans ce qui précède.
III. D'après la remarque II du n° 55, le système intégral des équations (32) peut être représenté par les relations suivantes :
«ij — > «n-1 étant des constantes, respectivement égales à j^io, ... , Pn-i,o^ comme il est facile de le voir. Sous cette forme, on voit que le système intégral des équations (32) est aussi celui des équations analogues, obtenues en remplaçant y par t/,, et / par fi. Cette remarque est très-importante dans l'exposé de la méthodie de Lie, d'après les écrits du géomètre norwcgien luimême.]
