PM

Cette dernièrd équation pouvant ne pas être équivalente à la proposée, un examen sera nécessaire. On y procédera comme nous l'avons fait,

49. Théorëhe. — Si l'on élève au carré Us deux membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui admet les racihbs de la première, mais qui peut aussi en admettre n'Atn'BES.

Soit l'équation

— IH — ine de cette équation, l'égalitô

)a en déduit évidemment l'idenlitë

[TWl' = [/■(«)]■.

iit racine de l'équalion

y(xff = if{x)r.

e équation admet les racines de la première.

iirs en admettre d'autres, car l'élévation au cairA

de l'équation

nx) = - r{x)

ition (2), il faut aussi que cette équation admette uatiou (3).

- L'équation (2) n'admet pas d'autros racines que ; (1) et (3).

l'identité

• ïf'i'^)]' = [m - n^wi'':) -H f'ix)],

uatioQ (2) annulant le premier membre de l'idenr le second membre, et par suite l'un des facteurs Bfe ; elle doit donc être racine de l'une des équa-

- Si l'on sait résoudre l'équalion (2), en choisissant illes qui conviennent à l'équatiou (i), celle dernière jlue,

lUlVALENGE DES INÉQUATIONS

Lorsqu'on ajoute vne même quantité atus-deux taem-

n ou que l'on retranche une même quantité des deux tation, on obtient une inéquation équivalente,

de ce théorème ne diffère de celle du théorème 34 Ition ■ des mots inéquation, inidenlilé et solution,

identité et racim.

pi

53 Corollaire. — Si Ton fait passer un terme d'une inéquation d'un membre dans Tautre, en changeant son signe j on obtient une inéquation équivalente.

54. Corollaire. — Il est toujours possible de trouver une inéquation de la forme

équivalente à une inéquation de l'une des deux formes

f{x) > nx) ou f{x) < f\x).

Dans le premier cas, on a

F(x) = m - nx),

et dans le second, ¥(x) = f\x) — f{x).

55. Théorème. — Lm*squ*on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par une même qmntité qui ne contient pas V inconnue et qui n'est m nulle, ni infinie, ni négative, on obtient une inéquation équivalente,

11 est inutile (38) de considérer le cas de la division . Soit Tune ou l'autre des inéquations

(1) fix) > rix)-

Multiplions par M les deux membres de cette inéquation. Nous trouvons Tune ou l'autre des inéquations

Si nous déterminons F{x) d'une façon convenable (54)., les deux inéquations considérées dans les relations (1) et (2) sont respectivement équivalentes aux inéquations

(4) F(aj).M>0.

Pour démontrer le théorème, il suffit donc d'établir 1 équivalence des inéquations (3) et (4), dans Thypothèse où le facteur M que Ion suppose ne pas contenir l'inconnue, n'est ni nul, ni infini, ni négatif.

Observons que si l'on donne à x une certaine valeur, la quantité M qui ne contient pas x, ne change pas.

1® Toute solution a de l'inéquation (3) est une solution de l'inéquation (4), car si

est une inidentité, M n'étant ni nul, ni négatif, on a Tinidentité

2" Toute solution a de l'iaéquation (4) est une solution de l'inêquan (3), car si

. une inidenlitè, M n'étant ni négatif, ni infini, on a l'inidentité

Conclusion: Les solutions étant les mêmes, les inéquations (3) et sont équivalentes.

Application. — Les inéquations

3a; > 2 et a: > ^

it6

56. Théorème. — Lorsqu'on multiplie ou divise tes deux membres ine inéquation par une mime quantité qui ne contient pas l'inconnue qui n'est ni nulle, m infinie, ni positive, après avoir cHKur.t le is de l'inéquation, on a une inéquation équivalente. Comme dans le théorème précédent, on voit facilement que si M .isfait à l'hypothèse, il suffit d'établir l'équivalence des inéquations

;2) F(ic).M<0.

l" Toute solution a de l'inéquation {!) est une solution de l'inéquan {2'), car si

une inidentité, M n'étant ni positif, ni nul, on a l'inidentité

i" Toute solution a de l'inéquation (2) est une solution de l'inéqua- Q (1), car si

une inidenlitè, M n'étant ni positif, ni infini, on a l'inidentité

Oonchision : Les solutions des deux inéquations étant les mômes, cea 3Z inéquations sont équivalentes.

Application. — Les inéquatioiis

~3x>2 et aî<— -

ôont équivalentes.

87. Remarque. — Si certains termes d'une inéquation ont des dénominateurs, et si ces dénominateurs sont numériques, c'est-à dire ne contiennent pas Finconnue, il sera possible de trouver une quantité algébilque A, multiple de tous les dénominateurs, et dont le signe sera connu. En multipliant les deux membres de l'inéquation par la quantité A, et changeant le sens de Tinéquation si A est négatif, on chassera les dénominateurs et on obtiendra une inéquation équivalente à la proposée.

Application. — 1° Les inéquations

et

2(0?- i)>3a;- 18 sont équivalentes.

2^ Les inéquations

^rw^ 2 ^

et

2(aj - 1)< - 3a; + 18

sont équivalentes.

58. Remarque. — Quand on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par une môme quantité qui ne satisfait pas aux conditions imposées à M dans les deux théorèmes 55 et 56, on n obtient pas, en général, une inéquation équivalente.

Une discussion est nécessaire.

Nous allons traiter quelques questions particulières qui faciliteront cette discussion, dans les diverses appUcations qui pourront se présenter.