SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE

ÉOHÈME. — Les racines de réquation

(ax + b) (a'x + b') = 0,

suppose que a. et a' sont différents de zéro, sont celles des ations du premier degré

ax + b = 0, a'x+ b'= 0.

ourrions observer que ce théorème est une conséquence imméla remarque (42); mais nous préférons, à cause de son impor-

donner une démonstration indépendante.

ite racine a. de l'équation (1) est racine de l'une des équa-

car si les quantités

ax + 6 et o'a + b'

outes deux différentes de zéro, leur produit ne pourrait pas

racine de l'une quelconque des équations (2) est une racine ition ({). En effet, si a est la racine de l'équation

1 n'est pas nul, celte racine n'est pas inânie, la quantité n'est pas infinie, et le produit

(ax -+- 6) (c'a + b').

eur est nul et l'autre 6ni, est néeësBairement aol. démontré.

- Un nombre algébrique A étant dormé,si ce mmhre e déaa nombret algébriques, et seuîement deux, gui> reprodiùêetU A ; fi ce nombre est négatif, il n'en

i)re X, élfivé au carré, reproduise A, il faut et il suffit I l'équation

Squivalente

ic' - A = 0.

)ésignons par A' la valeur absolue de A.

nbre arithmétique, commensuridïle ou non, reftrè-

, élevé au carré, reproduit A'. On a donc l'identité

eut alors s'écrire

« l'équation {%) (voir 90) sont celles des deux équations

dmet donc les deus seules racines

que l'équation (1) admet les deux mêmes racines IX nombres algébriques, et seulement deux^ qui^ produisent A.

lUx nombres 86nt

+ s/k' et , -v^A'.

A < 0. Quelle que soit la valeur attribuée à x, a' est toujours

I liui et le premier membre de l'équation (1) est la somme de

nbres dont l'un est positif ou nul et dont l'autre — A est

'équation (1) n'est donc jamais satisfaite,

Qséquent, il n'existe aucun nombre algébrique qui, élevé au

one A.

)rèrae est démontré,

MARQUE. — Lorsqu'un nombre atgôbrique, élevé au carré, , un nombre algébrique donné, on dit qu'il est une racine géiyrique de ce nombre.

uARQUB. — Le théorème précédent a établi que tout nombre

a deux racines carrées algébriques. Ces deux racines ont la

leur absolue : c'est la racine carrée arithmétique de la valeur

e A. Leurs signes sont contraires.

)rème a montré, de plus, qu'un nombre négatif n'a pas de

rrée.

MABQOB. — Pour désigner une racine carrée algébrique, on e même signe que pour désigner une racine carrée arith- Ainsi, le symbole algébrique v^Â représente l'une quelconque racines carrées algébriques de A, cest-à-dire l'un des deux

xer les idées, nous supposerons, dans la suite, que le symbole e )/A désigne toujours la racine algébrique positive. IX racines carrées algébriques de A seront alors

MARQUE. — Si A devient nul, ce nombre n'a plus qu'une ne carrée, qui est zéro.