RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

96- Si l'on désigne par a, b, c des quantités algébriques quélcon» et si l'on suppose o?iO, 6 et c pouvant être nuls, tout polym entier en x du second degré peut être représenté par

Toute équation du second degré à une inconnue est donc d

forme

(1) ax* + bx + e = 0, a^ 0.

a, 6, e sont dits les coefficients de l'équation. Je me propose de résoudre celte équation.

Multiplions ses deux membres par 4a, quantit-i différente de zéro hypothèse ; nous trouvons l'équation équivalente

ia^x^ -H iabx -+- iac = 0,

qui s?écrit encore

4a'a!' + iabx + b' — b* + iac = 0,

ou

{lax + bf - (b* ~ iac) = 0.

Cette équation équivaut à

(2) (2ax + by = 6* - 4ac.

La résolution de l'équation (1) revient donc à celle de l'éi] tion (2).

L'équation (2) signifie que le carré de la fonction lax + b doit égal à 6' — iac ; ou encore que tax + b doit être une racine ca algébrique de 6* — iac. Nous aurons donc Ips difTéreotes racincj l'équation (2) en déterminant x de telle sorte que fax + b successivement égal aux différentes racines carrées algéhi-iques

10 présentent:

élfl — 4ac D'à pas dé racine carréé-algébnqiié. Il estimpossfaire à l'équation (2). Cette équation, et par suite l'équapas de racine.

i zéro a une seule racine carrée, qui estzéro. L'équation (2), 'équation (f ), a une seule racine, donnée par

9ax+b = 0.

h* - 4ac > 0.

té 6* — 4ac a deux racines carrées algébriques, qui sont par

+ \/6* — ^ac et — \/6' ~ 4oc.

!3 de l'équation (2), et par suite celles de l'équalion (1), , bres qui satisfont séparément aux équations suivantes:

Soo: + 6 = -H ^Jb'^ — hoc ,

%ax + 6 = — i/b^ — 4oc .

ions sont du premier degré. Cliacuae d'elles admet une . L'équatioD (1) a donc deux racines et deux seuletaeatt

—b— \/b' — iac irésentê ordinairement par la formule unique

b ± i/b' — iac

fins. — N'ayant lait aucune hypothèse sur les coeOicienls

bfAc, les résultats que nous venons d'obleoir s'appliquent à tousl cas.

Examinons les modifications qu'ils subissent dans certains cas p; ticuliers.

i' c. = 0, bjtO.

La quantité h* ~ iae se réduit à 6* ; elle est positive. L'équation ( qui devient

ax* + bx= 0.

a donc deux racines, qui Boat

Comme nous sommes convenus de désigner par \/a la racine al{ brique posiiive du nombre A, nous devrons remplacer \/b* par + si b est positif, et par — b, si b est négatif.

Nous trouvons dans le premier cas

Eu résumé, quand c = 0, l'équation a une racine nulle etuneraci

égaleà-^.

Remarquons que nous aurious obtenu ce résultat iuimédiatemi en mettant l'équation sous la forme

x{ax + ô) = 0, et observant qu'elle a pour racines (90) celles des deux suivantes : X = 0, ax -i- b ^ 0.

Ls quantité 6' — 4oc devient — 4ac. Elle peut être positive ou négative.

latioii n'a pas de racine,

ation a deux racines, données par

ic i/— 4ac yf c

~ r TH^ 11'

I, les mêmes résultats en p^Uiol del'i^qu:)ax* -h c ^ 0.

cine, qui est nulle.

priori.

)osons que la quantité 6* — Aac, d'abord zéro, u restant fini. Dans cette hypolhèse.

on varient. La valeur absolue de leur diffé-

v/ô' — 4ac a

suit que lorsque f — iac arrive à sa Jimilc.

égales et égales à — — -

ileur est celle qui a été obtenue dans le cas

islions, l'hypotliËse

6' — 4ac =

enons de l'imaginei'. Aussi nous dirons, ce s d'inconvénient, que lorsque

égalen.

l'équation a une racine double.

équation du second degré étant donnée, si levra d'abord calculer la quantité ô' — iac.

îcra posilii^ ou nulle, l'équation aura deux

racines distinctes ou égales, donaées par la Cormule.

~b ± \/ip' — iao

ia

Lorsque cette

quanti lé sera négatiiKt 1

'équation n'aura

pas

de

Applications

!• Soit On a

L'équation a

deux racines distinctes,

, données

par

S" Soit On a

. = i^. on

L'équation a deu^t racines égales cotre elles et ^ales i 4 1

3" Soit Oa a

6= + l, c - 4ac = - 7.

L'équation n'a pas de racine.

400, Remahoue. ■~- Supposons qu'au lieu de calculer au p la valeur de 6' — iao, nous fassions immëdiatement l'applica la formule

— b± \/b' ~ 4ac ^- 2^

Dans ces conditions, si 6' — Aac < 0, nous écrirons radicaf un nombre îiégatif, et l'expression obtenue lia plus < On lui donne le nom d'expression imaginaire, et l'on ajoute 6' — iac<,0, l'équation ,4 deux rucine^maginaires.

I, on est uraGné à dire que lorsque l'équatioa a deax 3UX racines réelles, et on appelle qvflntilé réelle, toute que positive oa négative^, c'est-à-dire toute quantité ibre arithmétique précédé du signe + ou du signe —,

quantité ioiaginaire est unenouveHe quantité algé- .roduclion dans le calcul fournit des résultats consilous sortirions du cadre que nous nous sommes tracé. simplement faire pressentir ces résultats. Nous n'ajoute-

aux définitions précédentes et nous continuerons à ;uatibn qui a des racines imaginaires comme n'ayant

l'on a :

! réelles et distinctes, réelles et égales, imaginaires.

B. — La quantité é» — 4ac a joué jusqu'à présent nt dans la résolution de i'équalion du second degré, que s'accroître par la suite. En lui donnant un nom rendrons les explications plus claire» et les calculs lout dans les applications.

i le signe de 6» — 400, les racines de l'équation sont 1 d'autres termes, puisque la réalité des racines dépend , nous emploierons pour la désigner le mot réalisant.

B. — Soit

F{x) = ax* + bx + c second degré.

>ns réalisant de cette fonction le réalisant de l'équation

|ue le réalisant de la fonction F(x) est le nombre lu en élevant au carré le coefficient du terme du pretranchant de ce carré quatre fois le produit du coeffiu second degré par le terme indépendant de x.

F(a:) = îa!»-*()-i. : . . ; ■ -

Le réalisant est

2" Soit

: F(«) = (o - ô)*" - Saôa; - «*(a -t; 6).

Le ri^iaaat eti

.4a«6» + 4aî(a'-(.») = 4o'; 3« Soit

Le réalisant est

Si l'on regard» cette quantité comme une - fonctioQ de X, on i nouvelle fonction du second degré dont le réalisant est

103. Reharqub. — Lorsque les coefficients a et c de l'équatic second degré

sont de signes contraires, les racines sont réelle». En effet, si a et o sont de signes contrairesi on a uc < 0, — iac> 0, et évidemment

b* — iac> 0.

Applicatiom. — Soit - -

Quel que soit le signe de i, les deux quantités X et — 2* s< signes contraires. Les racines de cette équation sont donc rtella

104. Remarque. — Lorsque = 26", on peut simplifier la fo. de résolution de l'équation du second degré.

Cette formule e;t .

-iac

-ÏS'^i/M-'

-te

— ac

Remarquons que le réalisant est ici &** — oc

Application. — Soit l'équation

ax* + èx+ c—\=(}, kquetle on suppose que ù, b, c aODt donnés, (a

osoDs-noua de chercher les nombres parmi le ; la valeur de À pour que les racines de cette

ialisant étant

b'-ia(c-}.),

m les racines soient réelles, il faut et il sufTit < 6" - 4a{c - X) > 0.

'aleurs demandées sont donc les solutions de li

le

6» - ia(c -X)>0.

inuelle X est l'inconnuti.

relation :

i'écril

[ia\ + 6' - iflc >0.

> 0, elle

: équivaut (84) à

4ac - 6- ^^ ia '

< 0, elle

équivaut (84) à

tq-uence : Lorsque a est positif, > peut reeei ique supérieure ou égale à

4a que a est négatif, À peut recevoir une valeur q

Autre fomiTi]