Appucation : Étant donnée l'équation
l" Déterminer X de façon que 3 soit compris entre les racî 11 faut et il sufQt que l'on ait
a.F(a) < 0, c'estrà-dire
- F{3) < 0, ou
La question revient donc à la résolution de l'inéquation
Tous les nombres supérieurs à 6 résolvent le problème.
2" Déterminer X de façon que 3 soit supérieur aux racines
liçs racines de l'équation pouvant être imaginaires, n(
écrire tout d'abord que le réalisant doit être positif, ce q
condition
D'ailleurs, nous savons qu'il faut poser en outre
aV{i) > et a{2m + 6) > u,
c'est-à-dire
(À 6) > et ( 6 + 1) > 0, et que cela suffit.
Or, la dernière de ces conditions est satisfaite d'elle-mêmi définitive, il faut et il suffit que l'on ait simultanémeuL 4). 4- 1 > et ^ + 6 > 0, ce qui revient i — 7 < X < fi.
Tous les K problème.
Ion des racines.
3 deux nombres comprennent entre eux une seule, on dit qu'ils séparent cette
[uatioD, c'est donc déterminer un certain chacun d'eux comprenne au plus une
n des racines de l'équation du second ■and nombre de questions, d'éviter les nécessite l'emploi des formules,
î lés nombres net p séparent w;ie racine
ix' + bx + c = 0, F{fl) soient de signes contraires.
>aire. En effet, si les nombres a et ^ :es nombres est nécessairement compris est en dehors de l'intervalle qu'elles Dmbres F(ï) et F(p) est du signe de — a i3).
contraires.
,nte. En efTet, si F(«) et F(p) sont de es nombres est du signe de — a. Les ■ distinctes (132) et l'un des nombres i racines. Comme l'autre nombre est es racines, il s'ensuit que les nombres
res a et p séparent une racine, il faut oient do signes contraires ; le théorème
136. Remarque. — Désignons par x* la plus petite des racini le plus petit des deux nombres a et p, et supposons F(a) e signes contraires.
L'un des deux nombres F(a) et F(^) est du signe de + a; l' du signe de — a. Deux cas se présentent :
1" F(a) est du signe de + a; F(p) est du- signe de — a.
F(-i- oc) étant du signe de + a (124), p et + « séparent uD' * et p séparent l'autre, et l'on a
-ix><i<x'<p<x"<+<x>.
2" F(a) est du signe de — o; F(p) est du signe de + o.
F {— oo) étant du signe de + u vt24), —■» et a séparent un a et p séparent l'autre, et l'on a
lïl. Application. — Soit l'équation
(a + 6 + c)x* — 2(ei6 + èc + ea)x + 3a6c = Oi dans laquelle on suppose que les quantités a; b, e sont dis difTérentes de zéro.
nous avons vu (126) que les racines de cette équation so et inégales. Le théorème précédent fournit du même fait un< stralion rapide.
Désignons par f[x) le premier membre de l'équation et F(o), F(6), F(e).
Nous trouvons
Les lettres a, b, c entrant de la même manière dans les a de l'équation, nous ne particulariserons pas en supposant a<b<e.
Nous voyons alors que
F(a) est du signe de ■+■ a,
Si a et c sont de même signe, puisqu'on a o< 6 < 0,
que o et c, et — 6 sont de signes contrai isuit que les racines :
signes contraires, les m ne des racines est com l'intervalle (a, c). Les inctes.
— Déterminer X de } une racine de l'êqtiatioi
que pour que les nom il suffit que F(- 1) et 3 que l'on ait
déterminer X de façon c
oblème sont tous les no]
ïlatives à la su dans le premier a
F{x) = ax' + bx + e sultats de cette t
< p. Par hypothèse, I me. Ils sont alors, ou 1
a, P(-oo)et]
+ a (124), — X et a séparent une racine; p et + i Les racines de l'équation sont réelles et l'on a, en dé para:' et x' {af < x"),
-<»<ic'<0L<p<a;'<+a S" S'ils sont du signe de + a, les nombres
- » a p +00 donnant par leur substitution des résultats de mâme pas les racines qui peuvenl être réelles ou imaginair
Lorsque les racines sont réelles, elles sont toutes < intervalles
— 00 a p +00 et, puisqu'elles comprennent entre elles leur demi-; sont dans celui de ces intervalles qui contient leur d
