Reuarque. — Lorsqu'une équation du s

les coDsidératioDs précédentes fournissent une méUiode ïr les signes des racines qui, bien que peu différente de exposée plus haut (118), est cependant bonne à conn^tre.

F(-w), F{0), F(+oo).

quantités n'ont pas le même signe, les racines sont de ! de zéro; elles sont de signes contraires, quantités ont le même signe, les racines sont dans celui

eur demi-somme; elles ont toutes deux lé signe de leur

ATiOH. — Discuter les racines de réquation F(x) = (X - 1)k» - 4Xx - 2(X + ^) = 0.

3l peut recevoir une valeur quelconque depuit — o»

sant de cette équation est

»nede

ssion est une font:tion du second degré en X qui a un tif (103). Elle peut donc se mettre (121) sous la forme

it X' et X' (121), on trouve

i ) et F(+ « ) sont du signe de X — 1.

il à - 2[X - (- 2)].

signe est connu quand on connaît celui de chacun de ;'est-à-dire celui de X — et celui de X — 1.

En résumé, les signes dei quantités

F(-«>), F(0), F(+oo),

dépendent de la grandeur de X par rapport aux valeurs remarquables

qoi se rangent dans l'ordre suivant :

Ceci posé, la discussion n'ofire pas de difficulté. Elle est résumée dans le tableau suivant :

CONCLUSIONS

Les racines sont de signes contraires.

La plus grande en valeur absolue ei»t positive.

1 L'une des racines change de signe en passant par zéro.

Les racines sont positives.

Les racines sont égales et égales à 1.

Les racines sont imaginaires.

) Les racines sont égales et égales à — 4.

Les racines sont négatives.

1 L'une des racines change de signe en passant par f l'infini.

Les racipes sont de signes contraires.

La plus grande en valeur absolue est positive.

lUATIONS DU SECOND DEGRÉ

ilioD du secoiid degré est de l'une des deux forme» iir + c>0 et ax*+ bx + c<0,

le se ramène à la première quand on fait passer tous mier membre dans le second en changeant leur& qui fournit une inéquation équivalente, onc ne nous occuper que de l'inéquation

a? + iœ + c> 0, {a jt 0).

RÉSOLUTION DE L'INÉQUATION afl + bx + c>0, (a :;£ 0).

par ¥la;) ie premier membre de cette inéquation et lisant ô* — 4ac de la fonction F(a;).

saentent, selon que l'on a

6» - 4ac j =

é» - 4(ic> 0.

!1) que la fonction ¥(x) peut se mettre sous la torm»

F(«)=o(« -«■)(«-«•), t les racines réelles de l'équatioa

ic à résoudre l'inéquation

F{x) = a{x-af){x- x") > 0, :her les valeurs de x qui rendent F{a;) positive.

D'ailleurs, nous avons vu (123) que F(x) est du signe de + on donne à x une valeur extérieure à l'intervalle (af.tc'), et i fonction est du signe de — a quand on donne à x une valeur < entre x' et x'.

Par conséquent :

Si l'on a a > 0, les solutions de l'inéquation sont tous les eitérieurs à l'intervalle {a^.aT). En supposant af<x', ce s les nombres'déûnis par

-oo ^x<:af et as' < a; <-+-«>.

Si l'on a a < 0, les solutions de l'inéquation sont tous les compris entre af et x". Ce sont tous les nombres définis par

2» b*~iac = 0.

Dans ce cas (121), F{x) se met sous la Tonna F(x) = a(a: - a;')*,

af étant la racine double t- — de l'équation