I. p est extérieur à l'inlervaiie f — S' + û

CONCLUSIONS

Les Mlulions sont données pur a/ < a: ^ iP*.

(si3<0, x>-

(slj>«, =><-

Les soluiions sont données par

-«<.<i' et ti- <!< + ».

Oaa

ct-1

CONaUSIONS

Les solutions sonl données par i' < o; < n'.

„ ) . .nn-yeau-une^ P ^^i^ — ^^^

Les soluiions sonl données par a;' < a; < a;'.

«-'^•^ j résoudre i- -f^ )si8-ïa:<

Les solutions sont données par

-QO<a;<x' et 3!"<3;< + a>.

OONCLnSIOMS

Les wluiions lont (burnies par a;" < œ < «■■.

p=0 rf =«".Ud'j»<iu'um solution: a! = -r^.

D n'r a pa» de solulioo.

p = «■ = ai: Il ny a qu'une solulion : <e = -;-^-

Lei BOlutions sopl toarniw par a^ < x < x".

1 sip<0, ^>-^-

( si^>0. x<~~

Les wlutioDs Mni données par

-x<*<!r' et »"<a;<+».

Lpplication. — ri'outier les valears de \ qui rendent réelles et de riquation

(a — a'i}x» + (b — b'X)x + (c — cl) = 0, en cAofssnf les dénominateurs dans Véquattoa nx* + bx + c , a'x*+ b'x +c' %t passer fotu fe$ fermât du

iliaant de l'équalion (]) étant

(j yi)» 4(a - a'X)(c - tf-X)

membre dans le premier.

•u biea

Ai{6'i 4oV) — ÎX[ W - 2{œ!' + ca')] + ft* - 4ac.

la question revient évidemment à la résolution, par rapport à X,

relalion conditionnelle

(2) 9(X) = X"(6'" - iaV) - 2X[ W - 2(£i(/ + ca')] + Ô» — 4o(î >

Deux cas se présentent, seloo que }i* — i^ii est différent d« ou égal à zéro.

La fonction <^{\) est du second degré en X.

Calculons sou réalisant R .

R = [ 6è' - -iipc' ■+- ca')l» - /6'» — 4o'o')(6» - 4acl. R peut ëlre positif, nul ou négatif.

1" Soit R > 0. L'équatioQ

•(X) = H ses racines A' et X' (X' < À') réelles, et la relation (2) s'é<»it (é'» - -toVJCX - X')(X - X') ^ 0.

Si l'on a &'* — Ja'i;' > 0, les valeurs cherchées sont donnéf

- 00 < A < >.' et X' < X < + 50 .

Si l'on a b'* -- ^'c' < 0, les valeurs cherchées sont donnée

2" Soit R = 0. L'équation

a ses racines égales, et la relation {2) s'ëcitt

(6''-4a'c'KX-i')*>0.

Si l'on a &'■ — iaV > 0, tous les nombres depuis — «o Jusqu'à satisfont à la question.

Si l'on a 6'* — 4<^c' < 0, le problème n'admetqu 'une solulioi est

3" Soit R < 0. L'équation

ç(X) = a ses racines imaginaires, et la relation (2) prend la forme (6'i 4o'c')(M*+N''}>0.

18 démontrerons plus loin que, dans nos hypothèses, 6'* — 4aV ut pas être négatiT. Cette quantité étant supposée différente de zéro,

&'» - iaV > 0,

>eut recevoir toutes les valeurs depuis — x jusqu'à +» .

relation (2) devient

- iX[bb' - 2(flc' + ca)] + 6» - 4ac > 0, fficlent de X pouvant être positif, négatif ou nul.

.2[M'-2((H/ + ca')]>0.

relation (3) équivaut à la suivante :

ô' — iac ^ 2[66' 2(ac' + ca')] '

désignant par X' le second membre de cette relation, les solutions bées sont données par

-2[W-2(flc' + ca')]<0.

relation (3) éqoivant à

6* — Aac

^â[ô6'-2K + ca')]~ • valeurs cherchées sont données par

— oo < X < V.

-2[M'-2(ac' + ca')] = 0.

relation (3) devient

i» - 4ac > 0,

it indépendante de X.

is établirons tout à l'heure que, dans nos hypothèses, b* ~ iac

ut pas être négatif. La relation (3) est donc toujours satisfaite,

|ue soit X. Les solutions de la question sont tous les nombres

i — 00 jusqu'à + oo

larqw. — En développant l'pïpression R, ou trouve

R = 4[6*a'c' — bb\ac' + ca') + {flc' — ca'f ■+■ acb''].

CTest une fonction du second degré en b dont le réalisant et

b''{ac' + ca')» — 4a'c'(ac' — ca')» — iaea'dl/' ou bien

(fi*» - 4oV)(ac' - ca)».

Supposons

6'*4aV<0, £6 qui entraîne

I^ réalisant de la fonction R n'est pas positif. CeUe fonct toujours du signe de son premier terme, à moins qu'elle ne soil Comme le coefficient du premier Wme est 4aV, quantité p' on voit que R est toujours supérieur ou égal à zéro.

Il résulte de là, ainsi que nous l'avons dît plus haut, que peut pas avoir simultanément

R<0 et 6'*-4a'c'<0.

On peut encore donner de cette propriété la démonstratu vante {*) :

Il suffit évidemment d'établir que lorsque t/* — 4aV est rôquation ç (X) = a ses racines rÉelIes.

9 (X) peut se mettre sous la forme

réelles.

Si 77 est diiîérent de chacun des nombres — et-, <f(—,\et<a{b' a' c' ^\a'/ ^V

def quantités positives. Comme 9{— oo) et <f(+ oo) sont du s:

&'■— ia'c\ c'est-à-dire négatifs, l'une des racines est compris

— 00 et la plus petite des quantités - et -; et l'autre entre la plus

de œs quantités et +00 . Les deux racines sont réelles.

(*) Cette élégante démonstration nous a été coomiuniquée par H.

reste à montrer que si ô'' - 4a'c' -

i* - 4ac > 0.

ie je tira

b*b'* = 4(ac' + co*)* 3V6» = Mac' + c(f)* - 4ac)o'tf' = (oc' — ca*)'.

que

. positif ou nul.