DD SECOND DE6BÉ NON RÉSOLUES
i6â. Soient les deux équations
(1) F(iB) = Aœ' + Bœ + C = 0, (A 7i 0)
(2) f{x)=ta^ + bx + c= 0, (a ^ 0)
dODt je suppose les T(mm& réelles.
Remarquons tout d'abord que si l'une des équations, la secoud exemple, avait ses racinea égales, la valeur commune à ces ra
serait — t- et la question reviendrait à la comparaison du do — — aux racines de l'équation (1). Il suffirait alors d'appliqu
méthode exposée au n" (27.
Supposons donc les racines de chacune des équations réell distincles, et désignons celles de la première par X' et X" (X' < et celles de la seconde par x' el x" {a^ < x").
Ceci posé, considérons les deux fonctions
F{x} = Ax* + Ba; + C,
f{x) — ux' -i- bx -t- c.
Multiplions la première fonction par a, la seconde par A, et n choQs le deuxième résultat du premier; nous formons une noi fonction
a.¥(x)~\.f(x) dé&uie par l'identilé
(3) a,F(a;) - A..f{x) = a!{Ba - kb) + Ca - Ac.
La quantité Ba — A& est en général différente de zéro; m peut arriver qu'elle soit nulle.
A soient de même signe, ^ est compris eo dehors de riûtervalle (X'.X*). Comme af ei
X' < ic* < X" < a
Si F(a;') et A sont de signes cootraires, ( soient de même signe, x° est compris enti dehors de l'intervalle (X'.X"). Commea/ ei
a-* < X' < «" < X 2» Les trois quantités
ont le même signe.
Dans ce cas, x' et x' sont extjSrieurs à 1' savons (139) que X' et X" sont dans celui d
qui contient leur demi-somme — -^ ■ Comparons donc — — aux racines de 1'
faisons une nouvelle application de la métï Lorsque fi— ^J et a sont de signes .
l'intervalle du milieu, et l'on a
aï' < X' < X" < j
Lorsque fi— — j et a sont de même :
5 l'intervalle (a^.œ").
Si
comprise dans l'intervalle de gauche, et 1'
— jx est supérieur aux deux nombres x' et «*. Cette quantité est
comprise dans l'intervalle de droite, et l'on a
Reaiarque. — La comparaison de a aus racines de l'équation (2) conduit à former /"(a). Il peut arriver que l'on ait
/■(") = 0a. est alors une racine de l'équation (2).
C'est aussi une racine de l'équation (1), car pour <e = a, l'identité (4) devient
a.F(«) = 0, d'où
Quand cette particularité se présente, les secondes racines des équations s'obtiennent en retranchant te des sommes
et la comparaison est immédiate.
