Applications
1" Soient les deux équations
(2) /"(ic) = X' - X - 2 = 0.
inons œ* entre les relations
¥{x) = Œ* — BiT -H 4,
nt
parons^ aux racines de l'équation (9).
j étant du signe de — a, on a
[ions successivenient à x, dans l'identité (3), les valeurs ai' et af; oyons que
F{x') > et que Y{x") < 0.
'fquence : Les racines se rangent ainsi :
«' < X' < ic" < X'.
oient les deux équations
f{x) ^x* ~ Sx + i = i},
fix)^x'~'ix-3^0.
linoos œ* ; il vient
¥{x) - m - - (ar - S).
iparoos a aux racines de l'équation (2).
est du signe de a.
il extérieur à l'intervalle {af. x"). Comme il est supérieur à la
somme — - — - 1, on a
ce doDC dans rinterralle de droite.
mce : Les racines se tangent ainsi :
ic' < œ" < X' < X'.
t les deui équations
/'(«) = œ»-ir + 3 = 0.
as £C* ; il vient
a saccessivement à x, dans l'identité (3), les valeurs œ' et voyons que
F{af) < et que F(x") < 0.
positif, les racines ic' et œ* sont comprises entre X' et X'.
OUROCE. — Dans les exercices que nous venons de traiter, il 18 simpledecalculei' d'abord les racines et de les comparer ar nous avons choisi, pour qu'on puisse facilement vérifier its, des équations dont les racines ont des valeurs absolues
mlenrs absolues étaient incommensurables, la méthode que is exposée deviendrait, dans bien des cas, préférable à la cont après calcul.
is que la méthode est presque indispensable quand des coef& ins les équations, sont littéraux. On ne peut alors que reprémboliquement les racines, et si l'on voulait les comparer nt, il faudrait résoudre des inéquations contenant des radiqui oflre de très graades difficultés.
167. Application. — Comparer les raànes des de (i) F(x) = (i - l)s' - 2x - X = 0,
(2) f(x) = X» - lï - 2 = 0,
dans lesquelles X peut recevoir une valeur queleon
jusqu'à + 00,
Le réalisant de la première équation est 1«-1l + 1.
Cette fonction de \ ayant un réalisant négatif, est t de son premier terme. Elle est donc toujours positii de l'équation (1) sont réelles, quel que soit X.
Il en est de même des racines de l'équation (3 extrêmes de cette équation ont des signes contraires.
Nous n'avons donc pas à nous préoccuper de la ré
Calculs préliminaires.
t" Èliminaiion de x* entre
f(x) = X» - Xx - 2.
On a
F{x) - (i - mx) = (X + 1)(X - 2 )(œ - :
Remarquons que — r j est la valeur désignée p
rie générale.
2» Calcul de
On a
Comme la fonction du second degré en X
a un réalisant positif, si l'on désigne par V et X' (X' de l'équation
Kah)
X+ 1 <2 E correspondance des signes d'inégalitiS,
■AJ+l) < ■ que la fonction du second degré en X
»■ + » + 2 isant négatif, est toujours positive, et posons
— Ces calculs Dous moatreat qae les signes des quans avons à examiner dépendent de la grandeur de X par aleurs remarquables
is donc facilement ces signes quand nous connaîtrons odeur des valeurs précédentes, c'est-à-dire quand oous ces valeurs.
Conséquences :
!• Classement des quantités —
'{-éO
CLASSEMENT
est compris entre x' et x'.
/ Af tf'
est extérieur aux racines ay et X
est supérieur à la demi-somme
oj' < .t" < -
est extérieur aux racines af et x*.
est inférieur à la demi-somme
est compris entre x^ et a;\
a de Fix') et F(x').
leotité
e cette identité se réduit à V{af) ou à F(a:') b' ou 3!=a;''.
FHidDEUT
FK)
= it- < i-
Elle peut se mettre soua la forme
- 3(X - li)(X - lî).
On constate sans peine que les quantités Xi et Xt > luî ^d racines de l'équation
3;^i + 5X - 1 = 0, sont positives. Elles sont donc supérieures à X' et à X', qui, l'avoQS vu, sont négatives.
Il s'ensuit que dans tout l'intervalle (X'.X") la fonction
- 3X' + SX - 1
est du signe de son premier terme, c'est-à-dire négative. Ainsi, dans tout cet intervalle, l'expression
KtH
est négative ; elle est du signe de — a, et l'on a
D'ailleurs, nous savons (voir les deux tableaux précédents) qu racines \' et X" sont dans celui des intervalles
qui contient leur demi-somme. On a donc pour l'intervalle réser a^ < V < X" < x".
Résolution d'un système formé de deux inéquat: simultanées du second degré.
