SOLUTIONS

DD STSTÈME PROPOSÉ

Pas de solotioo

Z-hx>

Udo solution :

One Golullon :

S + oo

Deoi soluiioas :

Ileui solutions:

x' et »■

Deux soluliODs:

Uoo solution ;

Observations relatives au classement de cet vEtleurs remarquables,

nw. Lorsqu'une quantité X reçoit successivement toutes I depuis — 00 jusqu'à 4- oo , une fonction entière 9(ï) de ceti ne peut chaîner de signe qu'en passant par zéro. Les valet quahles (*) de X que l'on rencontre quand on examine le si| annulent donc cette fonction .

Ceci posé, supposons que les coelficients a et c de l'équat

aai' H- 6a; + c = 0,

soient des fonctions entières de X et remplaçons X, dans le r par l'une quelconque des valeurs remarquables qui correspt coefncieots a et e. L'un au moins de ces coefQcients g'annuli se réduit à d', prend une valeur positive.

Il résulte de là que dans l'hypothèse où p est une fonction degré en X qui a ses racines X' et X" réelles et distinctes, valeurs remarquables qui correspondent aux coefficients placent de la même fa^n par rapport à l' et X". Elles sont entre X' et X" lorsque le coefBcient de X' dans p est négatif. E l'extérieur de l'intervalle X', X" lorsque ce coefGcient est posit

Exemple. — Soit l'équation

(X"-3X + 2)a;' + 2{X + l)aî+2 = 0.

On a

p = (X + l)'-2(X»-3X+2) = :^i + 8X-3 = (X),',(X-X') et

D'où les valeurs remarquables X', X", 1 et2. Le coefBcient de étant négatif, elles se classent ainsi :

X'<i<2<X'. ' 180. Soit l'équation

ax* + bx + c—Q dont les coefQcients sont des fonctions d'une indétenninée X.

(*) Nous avons donné ce nom aux valeurs de X qui corresp changements de signe de 7(X).

Supposons que,, dans la comparaison d'un nombre a aux racines 4e cette équation, Ton ait reconnu que, pour toutes les valeurs de X comprises entre ^i et X^, les racines de l'équation isont réelles, distinctes et non séparées par le nombre a. , ^

Pour achever la comparaison, on cherche (128) la relation de gran-^

b deur des deux nombres a et — ^ , ce qui revient à examiner le signe de

la quantité

et fournit, en général, une ou plusieurs valeurs remarquables nouvelles pobr A. :

. Soit K Tune de ces valeurs. Lorsque X passe par la valeur K, oc -i- —

change de signe et devient alors soit nul, soit infini.

h Admettons que pour X = K, ol-^— soit nul. Je dis que la valeur

remarquable K est extérieure à rintervalle X^, X,. En effet, si Ton avait

X passerait par la valeur K en variant de X| à X,. Pour une valeur de

l'intervalle \. X„ â deviendrait donc égal à — ^ et serait, par conséquent,

compris entre les racines ; ce qui est contraire à Thypothèse.

Ainsi, dans notre hypothèse, les nouvelles valeurs remarquables que donne la considération de la demi-somme, se placent en dehors de l'intervalle pour lequel cette considération est nécessaire.

Exemple. — Soit l'équation

(X-2)aî« + 2Xaj-i=0.

On constate facilement que si X est compris entre 1 et - , les racines

de l'équation sont réelles, distinctes et non séparées par le nombre 2.

La comparaison de 2 à la demi-somme dès racines — r— â> donne une

nouvelle valeur remarquable ^. Ce nombre étant extérieur à Tintervallc

1.3, la propriété qui fait l'objet dô f observation précédente est vérifiée.

1 8( . Remarque, — Il peut arriver que la valeur K soit dans l'inter-

valie X,. X„ lorsque, pour 1 = K, n+â" change de signe en passant par

rinriiii.

Exemple. — Soit l*équation

Lorsque X est compris entre — 2 et ^, les racines de cette équation sont èelles, distinctes et non séparées par le nombre 2. Si l'on compare 2 ^ la demi-somme des racines, l'une des valeurs remarquables que l'on

rencontre est 1 . Ce nombre est compris entre — 2 et ^.

182. REHARQtE. — Les circonstances qui se trouveot réunies dans ce dernier exemple se présentent très rarement. On fera donc bien de vérifier les calculs, lorsque la considératioa de la demi-somme fournira une valeur remarquable se plaçant dans l'intervalle pour lequel cette

considération est nécessaire.

Observation relative à l'emploi du produit des racines d'âne équation du second degré, dans la comparaison d'un nombre à ces racines. -

183. Supposons que Ion ait constaté qu'un nombre a est extérieur aux racines d'une équation du second degré. Nous avons vu (128) que la comparaison du nombre a à la demi-somme des racines permet toujours de reconnaître si a est supérieur ou inférieur aux deux racines.

Dans certains cas, la considération du produit P des racines conduit focilement au même résultat.

1' Soit P<0. Les deux racines sont de signes contraires.

Si a. est positif, ce nombre est plus grand que la racine négative. Donc, dans notre bypotbùse, il est supérieur aux deux racines.

Si a est négatif, ce nombre est plus petit que la racine positive. Il est donc, dans notre hypothèse, inférieur aux deux racines.

Exemple, — Soit l'équation

f{x) = 'ïx^~\x-i = Q.

Lorsque X est compris entre — 1 et -f- 1, /■(— 1) et f(+ 1) sont positifs. Les nombres — 1 et -h 1 sont extérieurs aux racines. Le produit

— Vài —

does étant négatif, les deux racines sont supérieures à — 1 et

ires à + 1,

oit P > 0.

étions que a' soit supérieur à P. La valeur absolue de l'une au

des racines est alors inférieure k celle de a.

est positif, ce nombre est supérieur à l'une des racines ; il est

lans notre hypothèse, supérieur aux deux racines.

est négatif, ce nombre est inférieur à l'une des racines. Donc,

otre hypothèse, il est inférieur aux deux racines.

nple. — Supposons qu'il s'agisse de comparer les nombres —1

aux racines de l'équation

/■(œ) = (a' + è»)x' ~ 2o(jaî + c"- 6* = 0.

id les racines sont réelles, les nombres — 1 et + 1 sont extérieurs

cines.

tons le cas où P est négatif ; car, il n'y a qu'à répéter ce qui a

dans le précédent exemple et supposons P>0, c'est-à-dire

ondition de réalité donne

c»<a» + 6»; videmment

î P est inférieur à {±1)*. Par conséquent, les racines sont comentre —1 et +i.

Tvons que si a' était inférieur â P, on pourrait affirmer que la absolue de l'une au moios des racines est supérieure à celle nais on ne pourrait rien en conclure, sans autre renseignement.