Application. — Discuter les raeinex de l'équation

%' + !'[»(> - !>) - a"] + l'[(l - b)- - a'] = 0; I b sont des nombres positifs donnés; X peut recevoir une uaXeur iconque depuis — oc jusqu'à + oo .

Calculs préliminaires.

'dteul du premier réalisant.

f, = [SX(X - 6) - o']" - 41' [(» - 6)' - o'J,

'aïeul du second réalisant.

f, = I'[X (6 - «)][>, - (6 + al].

'atcul du troisième réalisant.

l'est une fonction du second degré en \ dont le réalisant est positiT. 'on désigne par X' et X' (X' < X*) les racines de l'équation 9(1) ^ 2i' - 26X - ffl* = 0,

es différents calculs montrent que les signes des trois quantités ç„ pt dépendent de la grandeur de X par rapport aux valeurs larquables

— TT » b — a, b + a, i', i'.

lassons ces valeurs

— ISl —

1" On a

car, b étant positif, cette relatiou est équivalente à la suivante; — a» - 46' + iah < 0, - (0 - 2è)» ^ 0.

S* a et 6 étant positifs, on a évidemment

3" U reste à comparer à X' et i.' les trois valeurs remarquables

J'applique la méthode 1^ .

OD voit immédialemeot que

De plus, ou a

si l'oa a

avec correspondance des signes d'inégalité.

Il y a donc pour a trois valeurs remarquables i

Je laisse de côté la première, qui esl négative et que je n'ai pas considérer, piiisque a est supposé positif.

lors le table<iu saivant :

s. s.- ■« î o oi V

î ï = Is o I

sis i

5 STSi g F

Conclusions.

Nons pouvons maiatenaat répondre à la question posée, distinguerons trois cas, selon que l'on anra

Pi

CONCLUSIOMS

— oo X'

( Les quatre racioea aont réelles et p, = < deui â deui. Les valeurs absolues si ( mÉraes; les signes sont coDtraires.

Les quatre racines de l'ëquatioD sont réelles, c deui de même valeur absolue et de signes contraii

l i Deui racines sont nulles. Les — j p, = 1 autres sont réelles, de même f ( absolue el de signes contraires.

Deni racines de l'éqiwiion sont réelles, de même absolue el de signes contraires.

f, i Deux racines sont nulles.

Les quatre raciijea Boat imaginaire».

Remarque. — p, contient X' en facteur, p, s'annule donc pour : Or, zéro se place entre — tt et V. Par conséquent, si l'on

ans l'iDlervalle pour lequel l'équation a quatre racines ^ passe par zéro, deux des raciaes deviennent nulles.

> 6 - a, ms rintervalle pour lequel l'équation a deux racines imaginaires. Quand X passe par zéro, les deux racines iennent zéro toutes les deux, car la somme des racines n y, (œ' = y), élanl positive, c'est la plus petite des ' qui devient nulle. L'équaiion a alors deux racines racines nulles, a

=6 - fl,

onnés dans le tableau précédent ne subissent aucune rsque X passe par zéro, o = 2Ô.

qu'alors

immune à ces quantités est — 6; celle de X' est + 26; est Zb. Les résultats sonl :

I sont imagiDaires.

'< pi =: > Les qaaire racines Boni nulles.

Deux rarines Eonl réelles, de mËme valeur absolue el de signes contraires. Les deai outres racines sont imagina {l'es.

Les quatre racinea tant imaginaires.

Remarque. — Quand \ passe par zéro, les dei

qu'a l'équation lorsque X est voisin de zéro, <

deux nulles.

pi

Pi

coNausi

Lea quatre Ttclaeg lont imag

- p. = oj

Dent racines m Les deux sutrei

Deux racine

valeur absolue

Les deui au

j de l'équation et de signes coq

-ÎP. = 0|

Les deux autres

Les quatre r

ocine5 sont imagi

Remarque. — Qaaad X passe par zéro, les dcu qu'a l'équation lorsque X est Toisin de zéro, duux nulles.

Comparaison d'un nombre donné d'une équation bicarré

â08. Il n'y a lieu de traiter cette question l'équation a ses quatre racines réelles et distim elle a deux radnes réelles et distinctes et deux

aic' + 6x* + c = Tc racines réelles et distinctes.

ces racioes sont deux à deux de même valeur absolue et contraires, en désignant par ce' et jf' fa;' < x') leura solues, elles sont représentées par

i avons rangées par ordre de grandeur croissant». ■

roDs l'équation

ay* + by + c = Q,

1 remplaçant x* par y.

)othèse, cette équation a deux racines positives y' et y* et l'on a

+ œ*' = y' el + x'' = y'.

ons (127) à i/* el ^ le carré a* du nombre donqé v. a

ient h

(ï - x-)(^ + aO < 0,

; a est compris entre

— x' et + a^.

if' < «• < y',

vient, d'une part, à

(« - ir')!» + x') > 0, : part, à

a est à la fois extérieur à l'intervalle (— a?^. + x') et compris dans Tintervalle (— a'. + x"). II se place donc dans l'un des deux intervalles

(— x\ — x) et (h- x\ + x') ;

dans le premier, s'il est négatif; dans le second, s'il est positif.

Enfin, si Ton a

y" < a', ce qui revient à

a» - aî'« >

ou à

(a - X'){tt + x") > 0,

01 est extérieur à Fintervalle (—a?*. + a?'). Il est inférieur à — oT, s'il est négatif, et supérieur à -(- x\ s'il est positif.

Exemple, — Comparer le nombre — 2 aux quatre racines réélit» ^ «' et ±. al' de Téquation

F(ic) = aï* - lOaî» + 9 = 0.

On a

d'où

F(— 2) est du signé de — a. Le nombre (— 2)* est compris entre y' et y'.

Le nombre — 2 est compris entre

— a;' et — a?'.

IL L'équation

ax* + éx* + c =

a deux racines réelles et distinctes et deux racines imaginaires. Soit x' la valeur absolue des deux racines réelles. Ces racines sont

— a?' et + on'.

L'équation

ay^ H- 6y 4- c =

a 'Ses racines / et y' {y < jf) ao signes contraires, ff étant celle qui est positive, on a

Comparons a* aux nombres y' et y\ Si l'on a

*« - flî'' <

(« - a:-)(a H- ai^X (\ itre — ce' et + a:'.

(ce - a!')(cc + ir'> > 0.

; extérieur à l'intervalle {— x', + x"). Il est icrérieur négatif. Il est supérieur à + x', s'il est positif.

— Comparer le nombre — 3 aux racines de l'équation

P(x) = x* - 3x* - i = 0, les seulement sont réelles.

lu signe de + o. Le nombre (— 3)* est extérieur à i'). Comme ( — 3)' est positif et que y" est négatif, rieur à y". 3 est donc inférieur aux racines de l'équation donnée.

ÏLUTION DES INÉQUATIONS BICARRÉES

juation bicarrée est de l'une des deux formes œ* + c > et aœ* + ôic' + c < 0,

quation est de la seconde forme, si l'on fait passer lu premier membre dans le second en changeant les :nt une inéquation de la première forme qui est équi- )posée. Nous pouvons donc nous borner à la résoiu- Llion

ax* -t- bx* -i- c > Q.

a>0, tion sont tous les nombres depuis — x jusn des deux racines carrées algébriques de

) est positif;

olution.

p, = 6» — iac > 0.

') == ay' + by + c =

1/' < y") réelles et distinctes, et la fonction

i = »(!• - rt(«- - <n,

e est

\j' sont toutes deux négatives.

— y' sont alors posilirs, et, quelle que soit

s deux binâmes

«> 0, solutions tous les nombres depuis — ea jus-

o<0, K>IutIon.

/ sont de signes contraires ; -' < 0, y> 0.

Quelle que soit la valeur donnée à x, le binôme x^ — y' est toujours positif. L'inéquation proposée est équivalente à la suivante :

aix'' - y") > 0.

Désignons par x' la valeur absolue des racineB carrées algébriques

de y\ On a

t/' = + ofK

L'inéquation précédente s'écrit

ou bien

a{x ■+- x'){x — flc') > 0.

On voit alors que si l'on a

rinéquation proposée a pour solutions tous les nombres extérieurs à l'intervalle (— x' . + x'), et que si Ton a

elle a pour solutions tous les nombres compris entre — a?' et H- x\ 3» Les quantités y et y sont toutes deux positives. Désignons par x' et x" les valeurs î^bsolues des racines carrées algébriques des nombres positifs y' et /.

Nous avons

^ = -^ af^ et y' = -h a?'**

L'inéquation devient

a(aî* - x'%x^ - 0?''*) >

ou bien

a{x + x'){x H- x'){x - af){x - x') > 0.

Remarquons que les quantités

+ cc', -^< -4-œ\ -aï'

se rangent par ordre de grandeur croissante ainsi qu'il suit :

- x\ -^ flP', 4- â^, + x\

F(<£| est du Bigne de

s nombres donnés par — «'<«<+«', +aî*<a;<+Qo.

a<0, 1 nombres donnés par -a! +a^ <x<+x'.

tes des intervalles sont tes racines de l'équi

s solutions de la r^lion eonditionttelle ŒB' -*- 6x* + c> 0,

s*obtîenaeat en joigaant à celles de l'inéquation les racines de l'équation