Remarque. — Considérons les équations

et soit a une racine de l'équation (1).

Par hypothèse F(a) est nul. Si ^(a) n'est pas infini, le produit f (a).<p(a) est nul. a est une racine de l'équation (3).

L'équation (3) admet donc toutes les racines de l'équation (1) qui ne rendent pas 9(05) infini.

On verrait de même que cette équation admet aussi les racines de l'équation (2) qui ne rendent pas F(x) infini.

servons que lorsqu'une racine de l'une des équations (i) et (2) rend le premier membre de l'autre équation, il peut arriver que cette 3 soit une racine de l'équation (H), car le produit d'une quantité par une quantité infinie peut être nul ; mais ce produit pouvant lifférent de zéro, le contraire peut également se présenter. ;i posé, soit l'équation

Itiplions les deux membres de cette équation par tp{a!), ce qui donne lUoq

équations (4) et (S) étant respectivement équivalentes auz équa-

lesquelles on suppose

F(x) = f(x} - rw.

ivons le droit de dire, en vertu de ce qui précède : ite racine de l'équation (4) qui ne rend pas <f(œ) infini est racine luation (S). Les autres racines de l'équation (4) peuvent être pérît certaiues racines de l'équation f{x) = 0, peuvent êlre introduites e passage de l'équation (4) à l'équation (5).

Remarque. — Supposons que V{x) et if{x) soient des polynômes s en X.

sait que, pour qu'un polynôme entier en x soit infini, il faut et il ]ue a; soit infini. Donc, toute racine de l'une des équations F(a;) = 0, f{x] = 0,

nombre fini et, comme tel, ne peut rendre infini le premier )re de l'autre équation.

^ulte de là (41) que les racines des équations (1) sont des racines quation

'on remarque alors que toute racine de l'équation (2), annulant duit F{x).f(x), doit nécessairement annuler l'un des facteurs de 3duit et, par suite, être racine de l'une des équations (1), on voit :s racines des équations (1) sont les mêmes que les racines de Ltion {2^

43. Conséquence. — Quand le premier membre' d'une équation de la forme

est un polynôme entier en x, en multipliant par un polynôme (p(x), entier en x, les deux membres de cette équation ou ceux de Tune quelconque des équations équivalentes que fournit le théorème 34, on obtient une équation qui n'est pas équivalente à la première. Elle admet les racines de la première, avec celles de l'équation

• Dans les mêmes hypothèses, s'il est possible de diviser par <^{x) les deux membres de l'équation considérée, en effectuant cette division, on supprime les racines de l'éguation

Applications.