INDICATIONS GÉNÉRALES
stm hk aÉsoLunoN d'un système de ((.osieors éqd
A PLOSIEURS INCOKNDES
312. Définitions. — On dit qne plusieurs éqiiatioDS à iiicoaiiues formeot un système d'équations simultanées li équations doiveat être satisfaites simultanément par les mém
L'ensemble des racines qui salisCoiit simultanémaDt à i d'équations, est un système de racines du système de ces é(
Trouver les différents systèmes de raeines d'un système d c'est résoudre ce système.
Deux systèmes d'équations sont équivalenla lorsqu'ils adi mêmes systèmes de racines.
Dans la résolution d'un système d'équations, on peut rei système par uu autre équivalent.
213. Rkharqi». — Les théorèmes 34 et 38, que nous ave tréa sur l'équivalence des équations à une inconnue, s' sans -aucune modification aux équatious à plusieurs incon
Nous u'eu reprendrons pas la démonstration,
214. Rkuabqub. — Quelles que soient les équations qui un système, on peut toujours remplacer ce système pa équivalent, dans lequel les équations ont toutes zéro po membre, c'est-à-dire sont de la forme
~ 166 — 1. — Si, dans un stiatènic d' ta
n« est équivalente à une équation de la form£
%=<{■!.•,...), •slème 4(]uivalent au proposé enjoignant à l'égaalion talions que l'on trouve enremplaçanl \ par f(y, z,.,,) M autres que celle qui a fourni Féquation
deux systèmes
acines da système (l). Par hypothèse, les égalités (F(., p.Y, ...)=0, ] F(., p. r, ...) = «.
dans le système (â), .x, y. j, . . . par i, p, y, . . ,; la iD de ce système se transforme en une identité, puisque
1 = ut x = j
>. Ainsi .
est identique à
talions deviennent ies égalités
ru(f.
FT/fe
Elles sonl encoro des idenlilôs, | plaçitnt, dans les idealilés
a par la quantité identique /(^, ^i Les nombres a, p, y, , . . Iransfoi
identités. Ils forment, par suite, un On démontrerait de la même faç(
système {% est un système de i
systèmes sont par conséquent équivs
Remarque. — E peut arriver qu proposé ne contiennent pas toutes système. Si ce fait se présente, cel précédent, et le théorème subsiste.
âl6. Remarque. — Soit un cerlaii Désignons par n le nombre dei équn «t supposons que l'on puisse applii
On obtient un système équivale mais, tandis que dans l'une des é figurer, dans les n — 1 autres, il n
217. — Définition. — Calcule] éliminer l'une des inconnues entre
218. Application. — Résolution c tanées renfermant p inconnues.
Nous supposerons qu'il seratoujoi entre les équations des différents sy
Plaçons-nous dans le cas génér équations du système contient les p
Eliminons une inconnue. Nous formé de n équations. L'une d'elli les p inconnues; les n — 1 suivan'
Considérons spécialemont le sy éliminons dans ce système une noi système équivalent formé de n — i
la première) renferme p — i inconnues; les n — 2 autres n'en contiennent plus que jo — 2.
On peut alors remplacer le système proposé par un système équivalent formé de n équations. La première est celle qui a été utilisée pour la première élimination; elle renferme p inconnues. La seconde est celle qui a été employée dans la seconde élimination; elle contient p — 1 inconnues. Quant aux n — 2 autres, ce sont les équations obtenues en dernier lieu; elles ne contiennent que p — 2 inconnues. Si Ton continue de la sorte, trois cas se présentent : l» n = p. Le calcul conduit à un système équivalent au proposé, composé de
une équation à n inconnues,
une n — 1
(4) { une n--2
une équation à une inconnue.
Désignons par x l'inconnue contenue dans la dernière équation.
Si cette équation n'admet pas de racines, il est impossible de satisfaire simultanément aux équations données, et le système proposé n'a pas de système de racines.
En général, la dernière équation a un certain nombre de radnes. Soit
Tune d'elles.
Remplaçons x par a dans les n — 1 premières équations du système (1). Elles deviennent :
la 1'% une équation à n — 1 inconnues, ^2^ jla 2% n-2
la (n .— 1)®, une équation à une inconnue.
Soit 1/ l'inconnue qui figure dans la dernière équation du système (2).
Si cette équation n'admet pas de racines, a ne fait pas partie d'un système de racines du système proposé, et il faut recommencer l'opération avec une autre des racines de la n« équation du système (1).
Si l'on ne trouvait jamais de radne pour la (n — 1)« équation du système (2), le système proposé n'uurait pas de système de racines.
Supposons que la (n — 1)* équation du système (2) ait des raciaes. Soit
Tune d'elles.
Remplaçons y par p dans les n ^ 2 premières équations. du sjbtème Çî) ; nous obtenons un nouveau système, qui présente les particularités du système (2).
Agissons sur ce système comme sur le système (2), et ainsi de suite.
Finalement, si nous n'avons pas été arrêté par la constatation de l'absence de racines, nous trouvons un système formé d'une «euje équation à une seule inconnue t.
Si cette équation n'a pas de racine, le système a, p, ... ne peut pas faire partie d'un système de racines du système proposé, et il faut recommencer les calculs avec les autres valeurs trouvées pour ic, y, . . •
Supposons que l'équation ait des racines, et soit
Tune d'elles.
Le système
' ic -•= a
est évidemment un système de racines du système proposé.
On aura tous les autres systèmes en considérant successivement toutes les racines des diverses équations à une inconnue que Ton rencontre dans la suite du calcul et procédant comme nous venons de le faire.
2® n < p. On peut éliminer successivement n *- 1 inconnues. La dernière équation contient encore p — n h- 1 inconnues. Si l'on donne des valeurs arbitraires à p — n de ces inconnues, on peut continuer l'application de la méthode précédente et obtenir en général un certain nombre de systèmes de racines qui correspondent aux valeurs arbitraires choisies. Avec d'autres valeurs arbitraires, on aurait en général d'autres systèmes de racines. Par conséquent, en général, le système proposé admet une infinité de systèmes de racines.
rès l'éliminattoa de p — 1 inconnues, oa a n — p + 1 e incODDue. 11 est, ea général, impossible de trouver li satisfasseDt simultanément à ces équations, proposé n'a donc pas en général de systèmes de
— Lorsque certaines équations ne condennent pas onues du système, la méthode précédente s'applique !S calculs sont plus simples.
- Nous n'avons fait aucune hypothèse sur les fonctions Iles sont quelconques.
ION. — Une équation à plusieur? inconnues
^, lorsque la fonctioa F est un polynAme entier ux lettres x, y, z,... et que le terme du plus haut >ort à ces lettres est du degré m,
'équation
'ix + 3.V J- 1 = <! degré.
œ' — 'ixy -i-y»-i-a; + y — 2 = 0, Sicy + œ - 2i( - 4 = d degré.
LTiON. — Résoudre le nysléme ( X + y ^ a, ( xy = b.
J'obtiens le système équivalent
u'une inconnue. Elle est du second degré, et son réah-
Si l'on a a- — 46 < &,
l'équalion (3) a ses raciofs imagiaaii'es, ce qui, [ dire qu'elle n'a pas de racine. Le système (1) n système de racine.
Si l'on a . a* - ib = 0,
l'équation (3) a ses racines égales. En réalité, elle
égale à -. Lorsqu'on porte celte racine dans l'équ
y = a -- a>, on trouve
Il s'ensuit que le système (t) admet un système qui est
l'équation (3) a deux radnes réelles, que je repr En les portant successivement dans l'équation
on en déduit pour y deux valeurs corresponda système (1) admet les deux systèmes de racines
Remarque. — Revenons au cas où
En éliminant x au lieu de y, nous trouvons le
t y*--ay + b = Q,
qui, étant équivalent au système (1), admet pour s les deux systèmes (4). Il résulte de là que l'équa
Si 0* — 4i < 0, le problème est impossible.
Si a* — 46 = 0, les deux nombres sont lov
Si o' — 4i > 0, les deux nombres sont les d tion
X' - oX 4- 6 = 0.
