PROBLÈME III

On donne une circonférence 0, de rayon R, et un point P sur cette circonférence. On trace le diamètre qui passe par le point P et on le prolonge dans les deux sens. Par un point A quelconque sur la droite que Von obtient ainsi^ on mène une perpendiculaire AN à cette droite.

On demande de déterminer sur la circonférence un point M qui soit équidistant du point P et de la droite AN.

Du point M abaissons MH perpendiculaire sur OP et menons le diamètre YOY' parallèle à MH, Désignons par OX la demi-droite qui

contient le point P, et par OX' la demi-droite opposée.

Selon les positions des points A, H et M, les longueurs OA, OH et HM sont susceptibles d'être portées dans ^ deux sens différents.

Convenons d'aSecter les nombres qui mesurent les longueurs OA et OH du signe + lorsqu'elles sont portées sur OX et du signe — lorsqu'elles sont portées sur OX'. Convenons de même d affecter le nombre qui mesure HM du signe + lorsque cette longueur est portée dans le sens OY et du signe — lorsqu'elle est portée dans le sens 0Y'«

Représentons enfia par a, a? et y les nombres algébriques qui correspondent aux diverses longueurs OA, OH et HM.

Si nous parvenons à calculer les nombres algébriques x et y, le point M sera déterminé sans ambiguïté et le problème sera résolu.

Cherchons maintenant les équations du problème.

Pour que le point M réponde à la question, il faut et il suffit :

1® Qu'il soit sur la circonférence;

20 Que les deux longueurs MP et MN soient égales.

Première condition. - Si le point M est sur la circonférence, rhypoK'nuse du triangle rectangle MOH est égale à R et les deux nombres algébriques œ et y satisfont à l'équation

aj» -♦- y* = Rî.

Inversement, si a? et y sont deux nombres positifs ou négatifs, qui satisfont à cette équation, l'hypoténuse du triangle rectangle MOH est- égale à R et le point M est sur la circonférence.

La première condition se traduit donc par

Téquation

aj« + y» = R«,

sans autre obligation pour a? et y que d'être réels.

Seconde condition. — Dans tous les cas de figure, le nombre arithmétique qui mesure MN est égal à la valeur absolue de

a — aj,

et celui qui mesure MP, à

Par conséquent, pour que la seconde condition soit satisfaite, il faut et il suffit que l 'on ait

ou encore

d: (a - ce) = y/y'' -»- (R - xY

(C et y représentant des nombres positifs ou négatifs, c'est-à-dire réels.

Résumé, — La résolution du problème est ramenée à la recherche des systèmes de racines réelles du système d'équations

(a-aî)« = t/«-H(R-a5)«

ou du système équivalent

X* - 2ac(a - R) + a« - 2R« = 0, (2)

que fournit Télimination de y.

L'équation (2) ne contient que l'inconnue x. Elle admet deux racines réelles ou imaginaires.

Si ces racines sont imaginaires, le système précédent n'a pas de système de solutions, et le problème est impossible.

Si elles sont réelles, à chacune d'elles correspondent pour y deux valeurs réelles ou imaginaires fournies par l'équation (1).

Lorsque les deux valeurs de t/> qui correspondent à une racine réelle de l'équation (2), sont réelles, à cette racine correspondent deux systèmes de solutions et, par suite, deux solutions du problème. Dans le cas contraire, la rac ine considérée ne donne pas de solution.

La condition de réalité des racines de l'équation (1) étant

R« - a:» > 0, c'est-à-dire

il résulte de là que pour qu'une racine de l'équation (2) fournisse un système de racineâ réelles, il faut et il suffit qu'elle soit réelle et non extérieure à l'intervalle

En définitive, pour ré soudre le problème nous avons à résoudre le système

et à porter chaque solution trouvée dans l'équation

y = rt /R» - X*,

afin de calculer y.

ésoîution du système (3).

;) = «»- 2a;{o - R) + o» - 2ft».

F(x) est

F(+R) n'est jamah r.égatif.

s x' et a^ (j:' < aï") de l'équatiuii

R>îl±i-

calculs donnent pour a

les valeurs

remarquables

de la façon suivante:

Résultats.

F(-hR)

F(±oo)