SID A

D'autre part, en oousîdérant la surface du triangle, on &

et comme

sin'A sinB.sinC cos (B - C) + cos A il vient

g [cos (B — C) + eos A]

On a donc finalement l'équation

m» = . . „ . fcoB (B — G) + cos Al' + ■ . ; . - • sm* — ;r — sin'^r

4sin'A"- ^ ' ■■ sin'A 2 2

que l'on met sans difficulté sous la forme

cos'(B-C)-2(2-3cosA)cos{B — C) + (2-cosA)» ^siLi'A = 0.

Cette (équation ne contient qu'une inconnue, cos (B — C). Si l'on désigne celte inconnue par x, l'équation s'écrit

(2) a;' - 2{2 - 3 cos A) œ + (2 - cos A)» ^ sin' A = 0. "

Le cosinus de l'angle cherché B — C est une racine de l'équation (2) ; mais une racine de cette équation n'est pas nécessairement une valeur acceptable pour ce cosinus, qui doit être celui d'un angle satisfaisant aux relations (1).

Or, les relations (I) entraînent

— eus A < cos (B-C) < 1.

pLir conséquent, pour qu'on puisse prendre une racine de l'équation (1) pour valeur de cos (B — C), il faut que cette racine satisfasse aux relations

— cos A < X < 1,

et l'on est ramené à la résolution du système

f — oos A < p; < 1.

Remarquons qu'à toute solution du système (3) correspond un angle et un seul satisfaisant aux relations (1) et, par suite, uns solutioo et uae seule du problème.

Résolution du système (3).

CalcaU préliminaires.

i' Le réalisaat de l'équation est

P = (2 - 3 cos A)> - (2 - cos A)' + ^ sin» A

ou

p = 4(1 - C08 A)[m« + cos A(m» - 2o*}].

4(1 — cos A) étant positif, p est Ou signe de

dans l'iiypothèse m» — 2a' ?i 0.

2° La substitution lie — cos A donne h 2{2 - 3cos.

= 4sia.A(,-5).

f(— COS A) est du signe de

— (m" — a*), os 1 nous voyons que l'on a

car l'inéquation

~cosA<2 — 3cosA revient à

cos A < t.

3» La substitution de 1 donne

/(l) = 4 - 2 (2 - 3 cos A)+(2 - cos A)« ^sin« A

= (^ -^ ^QS ^) [fli « 4m« + (a« + 4m«) cos Al.

/(i ) est du signe de