COS A
Si Ton compare 1 à la demi-somme des racines, on voit que l'on a
si Ton a
1 ^ 2 - 3 cos A,
c'est-à-dire ^
cos A ^ - •
Remarque. — Nous trouvons ainsi pour cos A les valeurs remarquables
Classons ces valeurs.
wi* ^ 4
wi« - 2a* < . o*
si Ton a
OU
ombre cos A pris entre — narquables c
*"' ~ '^' < rt
20 On a
si Ton a
3® Enfin, on voit sans peine que Ton a toujours
Remarque, t- Le classement dépend des signes des binâmes
11 y a donc quatre tas à examiner selon que m* se trouve dans Tun ou l'autre des intervalles suivants :
Résultats du classement.
RÉSULTATS
wt* — 2a*
oc
rw» —
Conclusions relatives à la résolulion du système (3).
Désignons par x et x' {pd < a?") les racines de Téquatioa (2), lorsqu'elles sont réelles, et considéroas successivemeat chacuii des cas qui se présentent.
cos A
fl— cos A)
Adroo)
CONCLUSIONS
Une racine est comprise entre — cos A et 1.
L'autre est comprise entre 1 et -h oc.
Le système a une seule solution :
Une racine est égale à 1 . La [demi-somme des racines est (supérieure à 1, car ^ 1
cos A < ^ • o
L'autre racine est donc sapé- [l'ieure à 1,
Le système a une seule solu i tioD : 0? = 1 .
Les deux racines sont dans celui des intervalles
— 00 —cos A +1 +0C qui contient leur demi-somme.
COS A étant inférieur à -, la
demi-somme est supérieure à 1.
Les deux racines sont supérieures à 1 ; le système n'a pas de solution.
Les racines étant imaginaires, le système n\i pas de solution.
On a
ni'
cos A
p /(— cos A)
f{±co)
CONCLUSIONS
Une racine est comprise enlre — COS A et 1.
L'autre est comprise eotre 1 et
Le système a une seule solution :
Les deux racines sont égales entre elles et égales à 4.
Le système a une seule solution :
Les racines étant imaginaires, le système n'a pas de solution.
cos A
^'(— cosA)
An
/•(±oo)
CONCLUSIONS
Une racine est comprise entre — cos A et 1. L'autre est comprise entre l et -f oo.
Le système a une seule solution :
Une racine est égale à 1.
Cos A étant supérieur à -,
lia demi-somme des racines est linférieure à 1. L'autre racine /est donc inférieure à 1. Elle \est d'ailleurs supérieure à i — cos A, car il ne peut y avoir 'que zéro ou deux racines comprises entre — oo et — cos A, Le système a deux solutions :
X =1 x' et a? = 1.
Les deux racines sont dans celui des intervalles
— 00 —cos A -fl +00 qui contient leur demi-somme.
Cos A étant supéneur à -, la
demi-somme est inférieure à 1.
On sait qu'elle est toujours supérieure à — cos A. Elle se place donc dans l'intervalle du milieu.
' Le système a deux solutions :
Les deux racines son t égales entre elles.
Le système a une seule solution :
Les racines étant imaginaires, le système n'a pas desjlution.
Oa a
2 ca
et
Le dernier intervalle du cas précédent disparaît. Les autres intervalles subsistent; mais il faut remarquer que l'une des racines est toujours égale à — cos A, car /*(— cos A) = 0, Cette racine n'est pas une solution du système, puisqu'elle ne satisfait pas à Finéquation
— cos A < œ.
Comme c'est la plus petite des racines, on a les résultats suivants :
cos A
/*(— cosA)
CONCT.TTSIONS
Le système n'a pas de solution.
] Le système a une solution:
Le système a une solution : x=x''.
( Le système n'a pas de solu- < tion • d'ailleurs cjC\^ A ne reçoit
/jamais la valeur 1 .
JV
i-fi*'.
cos A
/*(— i'(»sA)
/•(±oo)
CONCLUSIONS
L'une des racines est comprise entre — oo et — COS A.
L'autre est comprise entre 1 et
Le système n'a pas de solution.
L'une des racines est comprise entre — oo et — cos A.
— { L'autre est égale à 1 .
Le système a une solution :
ic= 1.
L'une des racines est comprise entre — oo et — cos A.
L'autre est comprise entre —COS A et 1.
Le système a une solution: x=x''.
Cette hypothèse ne se présente pas.
m' = îa'.
Oui
p = 4^1 — cos A;m'
Le raisoDDement est te même que celui du cinquième cas.
cosA
/■(-cosA)
CONCLUSIONS
Le système c'a pas de solutîc
\ Le système a une soluiioo
Le système a une aolation :
7» 2a> < m' < + oc .
Voyez le cinquième cas.
cos A
/(-cosA)
CONCLUSIONS
Cette hypothèse ne se préserle pas.
Le système n'a pas de aolutic
l Le système a une solution
Le système a une solution ; X = x'.
'onclusions relatives à la résolution du problème.
ute solution du système (3) fouraissant unt; solution du problème, ne seule, les résultats précédents conduisent aux conclusioQs intes :
) problème n'est possible que si l'on a
— 1 < cos A < ;•
n'a qu'une solution, donnée par te = af. l.or8(]ne cos A est égal
. a/ = 1 , et le triangle correspondant e^^t isocèle,
e problème n'est possible que si Ton a
- 1 < cos A <
lOrsque cos A est inférieur à -? il n'a qu'une solution,
née par x = af.
orsque cosAestégal ousupérieurà j^ iladeux solutions,
mées par œ = ai' et flj = af'. Ces deux solutions se confondent ind cos A reçoit la valeur — ^1
Remarquons que isi
cos
ûî'' = 1 ;
l'un des deux triangles correspondants est isocèlc<
3*» a»<m«<-f-QO,
Le problème n*est possible que si Ton a
< cos A < 1.
Il n'a qu'une solution, donnée par x = x'\ Le triangle qui correspond à la valeur
cos A =
est isocèle.
Remarque. — Les nombres x' et x" sont
OJ" = 2 - 3 cos A - 2v/(l - cos A)[m« + cos A(m« - 2a«)],
p/' = 2 — 3 cos A 4- 2/(1 - cos A)[w« 4- cos A(m« - 2a«)].
Lorsqu'on connaîtra numériquement les données du problème, cos formules, rendues calculables par logarithmes, permettront le calcul de la (lilFéreuce B — C; d'où B et C, etc.
