PROBLÈME V
On donne deux axes rectangulaires OX et OY, un point A (OA = a) êur OX et un point B (OB = b) sur OY. On trace une circonférence d" centre B qui passe par le point A. Cette circonférence coupe la droite XX' en un second point A!,
On demande de déterminer sur la circonférence un point M tel que la
somme
MA -h MA' = 2p,
p étant un nombre donné supérieur d a.
Du point M, abaissons HH perpendiculaire sur OX, et désignons
par X le nombre algébrique obtenu en affectant le nombre qui mesure OH du signe +, si le point H est sur OX, et du signe —, s'il est sur OX'. De même, désignons par y le nombre qui mesure HM affecté du signe H-, si le point M est au-dessus de OX, et du signe —, dans le cas ^ contraire. (Les nombres x oiy sont dits les coordonnées du point H.) Il est évident que la détermination du point M revient au calcul de
ses coordonnées.
On voit sans peine que pour qu'un point H appartienne à la
circonférence, il faut et il suffît que ses coordonnées satisfassent à
l'équation
aî« -h (y — 6)« = a* -h 6*
que donne la considération du triangle MBK, et qui s'écrit (1) a;* + y« - 26y - a* = 0.
D'autre part, quelle que soit la position du point M, on a
MA = v/i/' 4- (a? - a)S La condition
MA' = y/y» + (a? -h a)«.
MA + MA' = 2p
se traduit donc par réquation
et la résolution du problème revient à celle du système des équations (l)et(2). .
Faisons disparaître les radicaux de l'équation (2). Pour cela, disposons les termes convenablement et élevons saccessivement deux fois au carré. Nous trouvons l'équation
(3) (/)« — a*)x^ -+- pY - P"(P* - û*) = 0.
Cette équation est équivalente à Téquation (2). En effet, désignons par u et t; les deux radicaux de Téquation (2). L'équation (3) est équivalente à l'ensemble des équations
La dernière de ces équations n'a pas de racine, car un nombre négatif ne peut pas être égala un nombre positif. Les deux précédentes n'en ont pas non plus, parce que la différence des deux côtés MA et MA' du triangle MAA' étant inférieure au troisième côté 2a, ne peut pas être égale à 2p, qui est, par hypothèse, supérieur à 2a. Ainsi, les équations (2) et (3) sont équivalentes, et nous pouvons substituer au système (1), (2), le système (1), (3), ou encore le système équivalent
que donne l'élimination de x*.
L'équation (5) ne contient que l'inconnue y. Elle détermine cette inconnue. En portant successivement dans l'équation (4) les valeurs trouvées, on en déduit x.
On voit immédiatement que les racines de l'équation (5) sont réelles. L'équation (4) étant du second degré en x, à chacune de ces racines correspondent pour œ deux valeurs réelles ou imaginaires.
On voit, en outre, que pour que les valeurs de x qui correspondent à une valeur de y^ soient réelles^ il faut et il suffit que cette valeur de y satisfasse à la relation conditionnelle
y« - 2by - a> < 0.
Par conséquent, pour résoudre le problème, il suffira de résoudre le système
et de porter ses diverses solutions successivement dans l'équation (4).
Résolution du système (6).
Représentons par Y' et Y' (Y' < Y') les racines de
et par t/ et y' {i/ < y') celles de
Ces racines sont réelles.
La relation conditionnelle se met sous la forme
Elle admet pour solutions tous les nombres de l'intervalle (/ . y").
Les solutions du système (6) sont donc les racines de l'équation (S) qui appartiennent à cet intervalle.
Ceci nous conduit à comparer (162) les nombres
T, Y', y', jf.
Calculs préliminaires.
1* Élimination de y* entre
F(y) = aY + 26fp« - a^)y - (p* - a«)«,
Ay) = y* - 26y -a«.
On a
2® Comparaison de ^ — ^7 — à y' et y\
46« Le numérateur de ce résultat peut être rejjardé comme une fono-
tion du second degré en p». Cette fonction a ses racines réelles. Si on les désigne par p'* et p'* (p'* <p'*),
<^f, ) est du signe de (p* - p'*)(p« -p'").
De plus, on a
26 < 2 si l'on a
Remarquons que 2(a* + 6") se trouvant être la demi-somme des racines p'* et p''% se place entre ces racines.
Remarquons encore que a* est inférieur h p'*, car le résultat de la substitution de a* à p^ est positif, et évidemment on a
Classement de Y', y, y', y".
i« Soit a* < p« < p\
On a
p* ~ 2a* Par suite, - — -— — est inférieur à y' et à y". Il en résulte
et les racines Y', Y" se placent toutes deux dans Tun des intervalles
Comme y' et Y' sont négatifs et que y"^ et Y" sont positifs, le seut classement possible est celui-ci :
y <Y <X'< y\ 2» Soit
p'« < p« < p^'K On a
— 2(lH — lite,
ssement est
ite, - — esl supérieur à ^ et à y*.
'ésulte
ssement est
Ils.
ssement étant
le (6) a deux soluliun^ ;
ïsement étant
le (6) a une solution :
ssement étant
e n'a pas de solulion.
e le problème soit possible, il faut que p* ne soit pas supé-
Si p* est compris entre a* et p'", le problème a quatre solutions. Si p" est compris entre p'" et p'S il en a deux.
Remarque. — Pour terminer celte question, il faudrait examiner les hypothèses
et
calculer ensuite les valeurs remarquables p'« et p'« et donner les valeurs de Y' et Y" ainsi que celles de x correspondantes. Tout ceci n'offre aucune difficulté; nous nous en dispenserons.
Remarque. — Ce problème revient à l'intersection de la circonférence B avec Tellipse dont les foyers sont A et A' et ia longueur du grand axe 2p.
