PREMIÈRE PARTIE. I

deux variations; l'application du théorème de Budan indiquerait donc la possibilité de deux racines.

Mais la suite i, 3, 2, 2, 3, formée en suivant la troisième ligne horizontale jusqu'au terme H- 2 et en remontant parallèlement à la diagonale, n'offre aucune variation ; l'équation n'a donc aucune racine supérieure à l'unité.

Pour voir si elle a des racines inférieures à l'unité, considérons la

transformée en -»

on formera le Tableau suivant :

2 Ct

qui montre immédiatement que l'équation proposée n'a pas de racines positives; l'application de la règle des signes de Descartes à la transformée en — 07 fait voir d'ailleurs qu'elle a une seule racine négative.

Exemple IL — Soit l'équation

07* — So?' -h 1207^ — i5o7 -h g = o,

qui n'a évidemment aucune racine négative. Pour avoir une limite du

nombre des racines supérieures à l'unité, nous formerons le Tableau

suivant :

I . . o Les termes de la diagonale principale r , — i, 3, — 2, 2 offrent ici

:id THÉORIE DES EQUATIONS NUMÉRIQUES.

quatre variations, et par suite l'application du théorème de Budan permet de croire à Texistence de quatre racines; mais, la suite i, o, 2, I, o, 2 ne présentant aucune variation, on en conclut que Téquation n'a aucune racine supérieure à l'unité.

Pour rechercher les racines inférieures à l'unité, je considère la transformée en - y

QX* — 13X^ -h 120?' — 5x -h I = o,

qui donne le Tableau suivant :

12 — iy

comme la suite 9, 3, 9, 10, 2 n'a pas de variations, on voit que l'équation donnée n'a pas de racine positive inférieure à l'unité; toutes ses racines sont donc imaginaires.

Exemple 111. — Soit l'équation o?* — 3a?' -h 90? — 9 = o, la transformée en — Xf

montre immédiatement qu'elle a une seule racine négative. Pour avoir une limite du nombre des racines positives supérieures à l'unilé, je forme le Tableau suivant :