PREMIERE PARTIE. S
Tableau A.
«0 ^1 ^î «3 ûf^ «5 a^ «7 fl'g ...
Cq . . Cl . . Cj ■ > Cj C^ Cg Cj C- Cg . . .
cIq , . di » . d^ ' ' d^ ' . d^ d^ d^ d-^ d^ ...
^0 ^1 ^î ^3 gK gl gt gl gi
En se reportant, en effet, à la façon dont a été construit ce Tahleau, on voit sans peine que l'on a les identités suivantes :
/(oc) „ Cj Ùl fl.
-^ = rfoar +rf,+ ^ + 4 + -JT^ {x — i)* " o? J7* a;'(:r — i)
d'où résulte, en vertu du théorème énoncé ci-dessus, que le nombre des racines de l'équation /(o?) = o, qui sont supérieures à l'unité, est au plus égal au nombre des variations que présente chacune des deux suites
et
do* d^y rfa, 6?,, ^5, C4, b^, Ut
D'une façon générale, si l'on convient d'appeler diagonale princi-
l8 THÉORIE DES ÉQUATIONS NLMÉRJQII KS.
pale la diagonale qui renferme les nombres ag, 64, C3, d^^ ^m yi ^t qui donne (à des facteurs numériques près positifs) les valeurs de f{oo) et de ses dérivées pour ^ = i, on peut énoncer la proposition suivante :
Étant formé le Tableau A, si F on suit une ligne horizontale quelconque Jusqu'à ce que l'on atteigne ou que Von dépasse le terme correspondant de la diagonale principale et qu ensuite on parcoure le Tableau obliquement et parallèlement à cette diagonale jusqu à la première ligne horizontale^ le nombre des racines de l'équation f{x) = o, qui sont supérieures à l* unité, est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes du Tableau que Von a rencontrés successivement pendant ce parcours; et, si ces deux nombres diffèrent^ leur différence est un nombre pair.
En se reportant au Tableau précédent, on voit ainsi que le nombre des racines positives supérieures à Tunité est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes de la suite
yo» yi» y 2» yj» ^1» "3» ^e» ^7» ^8«
10. Quelques exemples ue seront pas inutiles pour éclaircir ce qui ])récède.
Exemple I. — Soit Téqualion x^ — [\x-h6 = o\ pour avoir une limite du nombre des racines supérieiu'es à Tiuiité, on formera le Tableau suivant :
La diagonale principale donne les termes i , 3, — 1 , 3, qui présentent
