PREMIÈRE PARTIE. 2C

discontinue d'une façon quelconque, pouvant par exemple être nulle dans autant d'intervalles qu'on le veut.

D'autre part, le nombre des alternances de la suite (A) est au plus

égal au nombre des racines de l'éqnation / ^{x) r/o; — o, qui sont

comprises entre a et 6 (il pourrait lui être inférieur au cas où cette équation aurait dans cet intervalle des racines d'ordre pair de multiplicité); d'où la proposition suivante :

Le nombre des racines de V équation [i) est au plus égal au nombre des racines de r équation 1 ^[x) dx = o^ qui sont comprises entre a et b.

On peut évaluer autrement le nombre des alternances de la suite (A); partageons à cet effet l'intervalle compris entre a et l> en intervalles tels que, dans chacun d'eux, la fonction <\>[x) ne soit pas constamment nulle, soit continue et de même signe. .

On pourra, en posant ainsi

e-"<Sf{z)d.

= r"t-"<P,{z)dz+ f'e-"<P.,{s)dz-i-...-\- f e-''^„{z)dz,

énoncer la proposition suivante :

Le nombre des racines positives de l'équation [i) est au plus égal au nombre des alternances de la suite

<Pt{x)dx-hl <P.y{x)dx -h.^.-h f Q>„{x)dx.

17. Comme application des théorèmes précédents, posons a = o, 6 = X) et

3o THÉORIE DES I2QUA.T10NS NUMÉRIQUES.

où les ûf/ désignent des nombres positifs quelconques et F la fonction eulérienne de seconde espèce.

L'équation / e'^-'^ (z)dz = o devient

ar^o ^«1 J7*«

et j'observe que le nombre de ses racines positives est précisément égal au nombre des racines positives de l'équation

D'autre part, l'équation / $(a?) dx = o devient

^ ' r(ao+i) r(a,-M) r(a„-hi)

et il résulte de la proposition précédente que le nombre des racines positives de l'équation (i) est au plus égal au nombre des racines positives de l'équation (2).