PREMIERE PARTIE. 'h
OU encore que l'équation
S) désigne, comme je Tai dit, une quantité positive quelconque ou zcro.
La même chose a lieu à l'égard des racines négatives, comme il est facile de le voir en considérant les transformées en — x. En particulier, on peut énoncer cette propriété importante :
Si l'équation {i) n toutes ses racines réelles, Inéquation {2) a également toutes ses racines réelles.
19. Soit le polynôme a© -+- ûjO? -f- «2^^ -+" «3«^' ; formons le produit
e^'^{ao -{- a^x -{- UiOo^ -h a^x^) = Uo4- U, 5 -f- U^c--}-. . . ,
où les U/ sont des fonctions de z. Comme il est aisé de le prouver, on a
généralement-^' = U,^,, en sorte que toutes les fonctions d'indice
inférieur à U,- sont les dérivées successives de cette fonction. On a évidemment
,, ao^* rtr,j?'~* a*;r'-* «jj?*-*
d'où Ton voit que l'équation U,= o a autant de racines réelles distinctes de zéro que l'équation
Or cette équation a, en vertu du théorème précédent, toutes ses racines, réelles si i — 2 est plus grand que zéro, et si l'équation flTo -♦- ûr,^ -H a^x^ -f- a^x^ = o a elle-même toutes ses racines réelles. L'équation U/ = o a donc également toutes ses racines réelles, si 1 est > 2, et la même proposition a lieu à l'égard des équations U2 = o, U, = o, puisque U^ et U, sont les deux premières dérivées de U3.
Cette démonstration s'étend d'elle-même à un polynôme de degré quelconque ; d'où le théorème suivant, qu'il est aisé, du reste, d'établir directement :
.Si>ient f{x) uti polynôme quelconque clécom|K)sable en facteurs
réel» (lu premier degré et F( or) = e^'f[x) = L^ -4- U, x -h V^x' -h ... :
cela posé, U/ désignant un des coefficients quelconques de ce dévelo|>-
pement, Téquation en z
U/ = o a toutes ses racines réelles.
20. F(x) désignant, comme plus haut, la fonction e^'/{x)^ posons
F(a;4-A) -= e'^e"/(.r -h A) = Vo-i- V.o? -h Vj.r--h. . .,
et \f, désignant un quelconque des coefficients de ce développement,
V^ -ç>(z), en sorte que Va,= Ç''(z), \f,^^= ^''[z), ..., l'équation ^{z -h t) ■-- o a, quel que soit z, toutes ses racines réelles et elle peut s'écrin*
>-Az)^trf-{z)+-f-J'{z)-^...^y^^'?^\z) = o ou
Va H- ^^k-\ H Va 2-I-...H -Vo=o,
ou encore
l.'>....K I.'Î...(A- — l) 1.2 1.2... (AT — 2) 1.2... A ^ ^
OU enfin, en changeant A en o?, / en -et en chassant les dénominateurs,
et l'on voit que cette équation en / a, quel que soit œ, toutes ses racines réelles.
Si donc on écrit le système suivant d'équations,
F(a?)-+-/F'(a:) = o, V{x)-^2tr{x)^ i-F"(a?) = o, V{x)-h^tr{x)-h3t^F''{x)'h t'F"'{x)=^ o.
PRFMIÈRE PARTIK. 33
on voit que, pour toute valeur de x^ elles ont leurs racines réelles. H en serait de même des équations
F (;r) + / r{x) = o, r{x) -h 2 i r{x) + l-rix) = o, .... ¥"{x)^tF"'{x) == o, F"(^) H- 2^F"(a?)-i-/^P^-(^) - o, ... ;
la dérivée F(^) ayant pour \nleur e'-'l/^x) -h zj\x)] et Téqualion Jlx) -+- ^f[x) = o ayant toutes ses racines réelles, il est clair en effet que V'{x) est une fonction de la même espèce que F(a), et il en est de même de toutes ses dérivées.
21. Les propositions précédentes s'établissent du reste très facilement-quand on les suppose démontrées dans le cas oii F(^) est un polynômeentier; il suffit de remarquer que e^'J{x) peut être considéré
comme la limite du polynôme f i 4- ^^j fi^x^), qui est décomposable
en facteurs réels du premier degré.
I.a même chose a lieu à l'égard de la fonction e'"^'"*'"^^ /[x)^ où je suppose u positif; cette fonction peut être en effet considérée comme la
limite de ( i — ] ( i -h ^^ )/(^) î "^^^i* '^^ propositions précédentes
ne s'appliqueraient pas à une fonction de la forme é^^'^f[x)y si le polynôme (f[x) était d'un degré supérieur au second, ou si, étant du second degré, le coefficient de x^ était positif
Ces remarques très simples trouveront d'utiles applications dans la théorie des fonctions transcendantes.
22. En effectuant un changement de variable, le théorème établi au n^ 18 peut s'énoncer ainsi qu'il suit : L'équation
(i) a^^-^- a^x -\- a.^x^ -^ . . .-ha„x"= o
ayant toutes ses racines réelles, il en est de même de l'équation
a^x ■ <7aJ?' <y>.r^
^*~^a-+-co («-hw)(23t4-t«)) (a-Ha))(2aH-a))(3a-t-a)) •••— O,
ou 0^ et tô désignent des quantités positives quelconques^ la dernière
34 TIJÉORIE DES KQUATIONS MUMEBIQUES.
pouvant être nulle. De là résulte que, élant donnée une équation ayant toutes ses racines réelles, on peut en déduire une infinité d'autres qui jouissent delà même propriété; en appliquant une seconde fois le théorème précédent, on voit, par exemple, que l'équation
CL\ OC Clq JC
" ' (a-|-a))(a'-|-a)') ' («-hc*>)(2a-|-u))(!z'-|-a)')(çia'-|-a)')
(a -|-u))(2a-h(o)(a'-h oi')(3!Z -h to)(2a'4- c*)')(3a'-H w')
a toutes ses racines réelles, a' et w' étant assujetties aux mêmes conditions que a et ck).
Soit, en général, 0{x) un polynôme d'un degré quelconque décomposable en facteurs réels du premier degré et ne devenant jamais négatif pour aucune valeur de la variable, en sorte que [x) soit de la forme
0[x) = a^{ax -j- b)^[a'x^b'Y[a"x + b"y*'', ...,
les nombres /?, y, q\ q\ . . . étant des nombres entiers ou étant égaux à zéro, a, a', a", ..., et 6, b\ b'\ ... étant des nombres positifs; on verra aisément par ce qui précède que l'équation
^•"^ ê(ô "^ e(i)e(2) "^ e(i)e(2)e(3) '^--'^ ë(7yë(2)...e(/j) ^ ^^
a toutes ses racines réelles.
Maison peut donner une plus grande généralité à cette proposition: l'équation (i) ayant en effet toutes srs racines réelles, il en estde même de l'équation
^0"^ T^fT^ "^ (14- a))(i-+-20)) "^ (7-+-a))(i-+-2a>)(i-|-3w) "+"•••= ^'
par suite de l'équation
^» "^ (i4-w)« "^ (l-+-io)«(i4-2a))* "•" (i-+-a))*(n-2u))*(i-h3w)* -+-...= O,
PRCMIÈRE PARTIE. 35
et en général de Téquation
OÙ A désigne un nombre entier quelconque.
Faisons maintenant croître indéfiniment le nombre arbitraire positif -et le nombre entier k, de telle sorte que ktù ait pour limite log- >
^désignant un nombre positif quelconque égal ou inférieur à l'unité. I/équation précédente deviendra
^0 -+- o^qx -f- a.^q^x^ -h a^q^x^ -i-. . *-^ a„q * a?" —. o,
et elle aura toutes ses racines réelles; il en est de même de l'équation obtenue en changeant q en w^ et a:: en - j
«0 + ^1 ^^^ ^- tiaûû^x'^-f- ajS)' j?'-+-...-4- an(ù"*x" =^ o;
w désigne une quantité réelle quelconque, dont la valeur absolue est au plus égale à l'unité.
Des considérations que je viens d'exposer résulte immédiatement la proposition suivante :
L'équation (i) ayant toutes ses racines réelles, V équation
^« ^ e(i} "^ è(i)e(2) "^ ê"(iye72")~ë(3") "^•••"*" e(i)e(2). . .e(/ï') ~ ^'
a également toutes ses racines réelles. 6 (a?) désigne un polynôme entier quelconque satisfaisant aux conditions ci-dessus énoncées, et oa une quantité réelle quelconque, dont la valeur absolue est égale ou inférieure à l'unité.
