H(i)II(2)lI

il vient

or * \^x) est un polynôme de la même espèce que F(ir), puisque H(,r) est décomposable en facteurs linéaires réels du premier degré et n'est jamais négatif pour aucune valeur positive de x.

C.e que je viens d'établir pour la première dérivée subsiste encore évidemment pour les dérivées suivantes.

i** Si Ton pose, en séparant la partie réelle de la partie imaginaire,

\\ix)=\{x)-\- iV^{x\

les équations V(a;) = o et W(a7) = o ont toutes leurs racines réelles et, plus généralement, a désignant une constante réelle quelconque.

Téquation

PREMJERE PARTIE.

\{x)'i- aW{x)^o

a toutes ses racines réelles.

Pour le démontrer, il suffit de remarquer que celte équation peut

s'écrire

to'j?'

et que l'équation

a toutes ses racines réelles, quelle que soit la constante réelle a; c'est en effet Téquation qui détermine tang - quand n se donne lang a. En particulier, si l'on fait 6 {x) = ;r et w = i , on a

nx nin — i ) x^

n(n — i)(ai — 2) œ^