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polynôme qui se présente dans plusieurs questions intéressantes de l'Analyse ('),

(*) Voir à ce sujet un Mémoire de M. Tchebychef (Mélanges mathématiques et astronomiques y t. II, p. 182. Saint-Pétersbourg, 1869), ma ^ole Sur l'inté-

re~^dx — - — {Bulletin de la Société mathématique, l. VII, p. 72) el une

grale

Note de M. Halphen, Sur une série pour développer les fonctions d'une variable ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 9 octobre 1882).

En faisant en second lieu 8 (a?) = i, on a VJ,v) = i -hncùx-i-— ^(ù*œ^-^ — ^ '-^ "W®j:-'4-...4-co''V;

les polynômes ainsi définis satisfont à Téquation suivante:

2i. Un cas particulièrement intéressant est celui où, dans Téqua lion

I e '^{z) dz = Of on suppose que $ (z) soit un polynôme entier dont

la forme change successivement lorsque la variable z croît depuis a jusqu'à 6.

Cette équation peut se mettre alors sous la forme suivante :

les a, désignant des constantes et les^} des polynômes entiers.

Pour examiner le cas le plus simple, soient «o, a,, ..., a„ des quantités réelles quelconques rangées par ordre croissant de grandeur et «0 , a, , . . . , a„ des quantités réelles quelconques ; posons, pour abréger,

y?2 = ao4-a, -f-fla,

Pn= «0-»- ^i -+- «a"+-'«-+-^/j!

et considérons l'équation

/ e-^'p^dz -h / er'p^dz -h / e-'p^dz H-...4- / e 'p^dz = o.

En effectuant les intégrations, il est aisé de voir qu'elle devient sim plement