Soit

(3 ) f{x) = k^x'" -h A, X'""' -H Aîa?"'-^^ -h ... -H A„,., , a; -h A

un polynôme entier du degré m; je considérerai la suite des polynômes

Jm-\ \X)^=AqX -f-A,,

Jm-2, \X)^=^ \qX -h a, 07 -h Aa,

J \^X)=^ A Xf„ -{- A^X 4- . . . -f- Am-\ *^ "f" A ,;, ,

dont le dernier est précisément le polynôme donné.

Les valeurs que prennent ces polynômes, pour une valeur donnée de la variable égale à a, se calculent facilement par voie récurrente ; on a, en efft^l, la relation bien connue

et les quantités yj;, (ûf), y^., (a), ..., f\[à)^ f{(i) se rencontrent d'elles-mêmes quand on veut obtenir le résultat de la substitution de a dansy(x).

Cela posé, on peut énoncer la proposition suivante :

Si a est un nombre positif, le nombre des variations des termes de la suite

est au plus égal au nombre des racines de l' équation /[x) = o qui sont supérieures à a, et, s'il est plus grand, ladifférence de ces deux nombres est un nombre pair.