PREMIÈRE PARTIE

et le nombre/? de ses racines positives est le même que celui des racines de Téquation

qui sont comprises entre o et -h i . Cette équation résulte en effet de la première quand on y j)ose e~^' = z.

On sait d'ailleurs (n" 16) que le nombre/? est au plus égal au nombre des alternances de" la suite

/ p^dz-\- I p^dz-^- I p^dz 4-...+ / Pfjdz,

d'où les propositions suivantes :

Les nombres a©, a,, «j» •••»«// étant rangés par ordre croissant de grandeur, le nomhre des racines de l'équation

qui sont comprises entre o e/ -4- i est au plus égal au nombre des alternances de la suite

où pQ,p^,p29 .. , Pn ont la signification donnée ci-dessus ;

et encore (ce qui est le même théorème sous une autre forme) :

Si les nombres «o» «1» ^2» • •» «« ^ont rangés par ordre décroissant de grandeur, le nombre des racines de l'équation (i) qui sont plus grandes que C unité est au plus égal au nombre des alternances de la suite (2).

25. J'ai fait voir plus haut (n® 14) que le nombre des racines posi-

(') D'après la définition des alternances d'une suite, il est clair que le nombre des alternances de la suite a -H 6 -h c -h r/. 00 est le nombre des variations des termes de la suite

tives de réquation

(i) A^F {ccox) -\- A^F{a^x) -h Aj F(a2j?) -h...H- A„V{u,tx)= o était an plus égal au nombre des racines de lequalion

qui sont supérieures à Tunité ; d'ailleurs les nombres log a©, log a, ,.. . , loga^ vont en décroissant, l^osons maintenant

Po ==^ Aq,

Pi = Ao4- A,,

P2 = Aq -t- A, -H A^,

Pfi — A^-f-Aj -f-AjH-.»-"!" A,| ]

il résulte, de ce qui précède, que le nombre des racines positives de l'équation ( i ) est au plus égal au nombre des alternances de la suite

/^o'og^ -+-/^f log^ H-... -+-/?;,, log -^ H-/?«.3c.