PREMIÈRE PARTIE. /| I

quantités ^-f-ao,A-+-a,,...,A-4-a^ soient positives et formons la transformée en y = x-\-k.

on, pour abréger l'écriture,

Cette équation peut s'écrire

Soit

(-1)- (-^r •■■ i:-fi

l'équation précédente peut se mettre sous la forme

Ky)-K?)---K7)=-

où le premier membre est convergent pour toutes les valeurs de y plus grandes que a^.

Si l'on observe maintenant que tous les coefficients M/ sont positifs, on établira, comme ci-dessus (n** 13), que le nombre des racines de l'équation (2) qui sont supérieures à a„ est au plus égal au nombre des racines de l'équation

ATo^"*'*'» -h a, ^*****'' -♦- . . . -h a,,a?***»< = o,

qui sont supérieures à l'unité; ce nombre est donc au plus égal au nombre des alternances de la suite

flo -f- a, -+-...-+- a„.

D'ailleurs le nombre des racines de l'équation (2) qui sont supé-

rieures à a],, c'est-à-dire à «^ -f- ^, est précisément égal au nombre des racines de Téquation ( i ) qui sont supérieures à «o* Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Les quantités Uq, ol^^ ..., «„ étant rangées par ordre décroissant de grandeur, le nombre des racines de V équation

■■H : : H- ... 4- ^ zz = O

qui sont supérieures à a^ est au plus égal an nombre des alternances de la suite

Le nombre des alternances est pair ou impair, suivant que les deux quantités a^ et [Uq -ha, -l-...-+-a„) sont de même signe ou de signe contraire; il en est de même du nombre des racines de Téquation supérieures à «0, comme on le voit en substituant successivement djms le premier membre de l'équation -f- oc et la quantité ao -4- 6, où £ désigne une quantité infiniment petite. Ceci ne s'applique pas au cas où Ton aurait ^o -f- a, -f-...-f- a^, = o; ce cas écarté, on peut dire que :

Si le nombre des racines de Inéquation supérieure à a© et le nombre des alternances de la suite formée par les coefficients différent, leur différence est un nombre pair.

28. Laissant de côté, pour l'instant, le cas général, je m'occuperai en particulier de l'équation

Dans l'intervalle compris entre a,- et a/+.,, intercalons deux nombres S et Ç', de telle sorte que les nombres

soient rangés par ordre croissant ou décroissant de grandeur, et faisons la substitution