Comme application, considérons l'équation

Les quantités

étant rangées par succession de grandeur, nous aurons à considérer les cinq intervalles

dont le dernier renferme l'inûni.

En désignant par % une quantité réelle quelconque, nous déduisons, de ce qui précède, les conséquences suivantes :

i** S étant dans l'intervalle (—2, — i), le nombre des racines de

(' ) Des quantités a, p, . . . , X, [x, . . . , x, w étant rangées par succession de grandeur, j'appelle intervalle (X, |x) celui des intervalles déterminés par ces deu\ nombres qui ne renferme aucun des autres nombres. Cet intervalle peut renfermer rinfini si X et [jl sont de signe contraire; ainsi, étant donnée la suite

-h 4, —3, o, -hi,

liiilervalle (-+-4» — 3) renferme Tinfini.

PREMIÈRE PARTIK. 4^

réquation (i) qui sont comprises entre Ç et — 2 est au plus égal au nombre des alternances de la suite

i4 i4 I es I

2 5 — 2 i — l $ Ç-hl

et le nombre des racines qui sont comprises entre Ç et — 1 , au plus égal au nombre des alternances de la suite

Ç-hi S 5 — 1 5 — 2 ;-h2

En particulier, faisons, dans la première suite, ^ = — i — e, £ désignant une quantité infiniment petite positive ; la suite devient

comme elle ne présente pas d'alternance, on en conclut que l'équation (i) n'a pas de racine dans l'intervalle ( — 2, — 1).

a** S, étant dans l'intervalle (—1, o), le nombre des racines de l'équation qui sont comprises entre Ç et — 1 est au plus égal au nombre des alternances de la suite

^ m "^ 5T"2 "^ r^2 - rrr -^ 5'

et le nombre des racines qui sont comprises entre ^ et o au plus égal au nombre des alternances de la suite

5 5 — 1 5 — 2 5-+-2 5-hi

Faisons, en particulier, dans la première suite, j?=: — g; la suite devient

comme elle présente deux alternances, on voit que l'intervalle (—1,0) comprend deux racines ou n'en comprend pas.

46 TIFÉOniE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.

3^ c étant dans riiitervalle (o, 4- i), le nombre des racines de l'équation qui sont comprises entre o et S est au plus égal au nombre des alternances de la suiïe

et celui des racines qui sont comprises entre | et -ht, au plus égal an nombre des alternances de la suite

Faisons, par exemple, Ç = i — £, la première suite devient

I i4 / 2 h-ô i4-Hoc;

elle présente deux alternances : donc l'équation a dans Tintervalle (o, -h i) un nombre de racines égal à o ou à 2.

On arrive à la même conclusion en substituant dans la seconde suite H-ê; elle devient, en effet,

et cette suite présente également deux alternances.

4^ ? étant dans l'intervalle (-+- r, -+- 2), le nombre des racines qui sont comprises entre Ç et -f- 1 est ou plus égal au nombre des alternances de la suite

et le nombre des racines qui sont comprises entre 2 et -f- 2, au plus égal au nombre des alternances de la suite

ç — 2 ?-h2 i-hi ? ç — I

Faisons, par exemple, dans la deuxième suite S = i -h s, elle de-