AC

-hl

Tous les nombres relatifs à -f- 3 étant positifs, on en conclut d'abord qu'il n'y a aucune racine de l'équation qui soit supérieure à 4- 3; de

() THKORIE DES EQUATIONS NUMÉRIQUES.

plus, les nombres relatifs à 4- 2 présentant une seule variation, on est certain qu'il y a une racine comprise entre H- 2 et -f- 3 et qu'il n'y en a qu'une. D'ailleurs, les nombres relatifs a -h i ne présentant non plus qu'une variation, on en conclut qu'il n'y a qu'une racine supérieure à -+- i : c'est précisément celle que nous avons séparée; si enfin on considère la transformée en ->

ioa7*-f- 8x* — a?* 4- 3a?^ — 1=0,

la substitution de -f- i donne la suite de nombres -h 10, -H 18, -h i-^, -H 20, 4- 19,'qui ne présente aucune variation. L'équation n'a donc aucune racine inférieure à -f- i et, par suite, a une seule racine positive comprise entre -h 2 et •+- 3.

4. La proposition précédente peut encore s'énoncer d'une autre façon.

Le nombre a étant positif, il est clair que les quantités

A^a"», Aoa"*-+-A,a'"-', Aoa'"-!- A.a'"-^ 4- A^a'^'S ...

ont respectivement le même signe que les quantités yj„( a), yî,^-, (a), y^-a(^), ... ; nous pouvons donc dire que le nombre des racines de l'équation y* (a?) = o est au plus égal au nombre des variations des termes de la suite

Ao^"*, Aoa"*4-A,a"'-', ..., Aoa"'4- A|a'"-* 4- . . . 4- A,;,,a 4- A,;,.

En général, P4-Q4-R4-S4-... désignant une suite quelconque de termes, j'appellerai nombre des alternances de cette suite le nombre des variations de la suite

Cette définition étant posée, le théorème précédent peut s'énoncer de la façon suivante :