PREMIERE PARTIE

Soù le polynôme

où le second membre est ordonné suivant les puissances décroissantes de 07, le nombre des racines de l'équation ¥[x)=> o, qui sont supérieures au nombre positif a, est au plus égal au nombre des alternances de la suite

et si ces deux nombres différent, leur différence est un nombre pair.

La démonstration que j'ai donnée de ce théorème suppose évidemment que les nombres a, |3, y, . . ., sont entiers et positifs, mais il est facile de voir que celte restriction est inutile.

En premier lieu, si quelques-uns étaient négatifs, en multipliant ¥{x) par une puissance de x convenablement choisie (ce qui n'altère pas le nombre des racines positives de l'équation), on pourrait rendre tous ces exposants positifs.

En second lieu, si quelques-uns des nombres a, |3, y, ... étaient fractionnaires, on pourrait les rendre entiers en changeant a? en x^^ w étant le plus petit commun multiple des dénominateurs des nombres a, p, y, .... La proposition a donc lieu, même quand les exposants sont négatifs ou fractionnaires, et, par un raisonnement connu, on en déduit qu'elle subsiste encore lorsque les exposants sont incommensurables.

Rien n'empêche même de supposer que le nombre des termes de la fonction F (a?) soit illimité, pourvu que la série composée de ses termes soit convergente pour x=^a.

5. On peut chercher une limite du nombre des racines positives d'une équationy (a?) == o, qui sont inférieures à un nombre positif a,

en considérant l'expression '^__ qui, pour toutes les valeurs de x comprises entre zéro et a, est développable en une série procédant suivant les puissances croissantes delà variable. La marche à suivre est exactement celle que j'ai suivie précédemment et, sans m'arrêter aux détails

de la démonstration 9 j'énoncerai de suite la proposition fondamentale suivante :

Étant donné le polynôme

Y[x) = Air*-hBa;P -h Cx^ -h ... 4- \.x\

ou le second membre est ordonné suivant les puissances croissantes de x et où d'ailleurs les exposants sont des quantités réelles quelconques^ positives ou négatives y commensurables ou incommensurables, le nombre des racines positives de l'équation F (a?) = o, qui sont inférieures à un nombre Dositif donné a, est au plus égal au nombre des alternances de la suite

Aa«4- BaP-t-Ca^H-. .. -+- La\

et, si ces deux nombres différent, leur différence est un nombre pair.

Cette proposition subsiste quand le nombre des termes de F [x) est illimité, pour que la série composée de ces termes soit convergente pour a? =a; le nombre de ces variations sera du reste évidemment fini, si la série tend, pour x =. a, vers une limite différente de zéro.

3e mentionnerai, comme cas particulier et à cause de son importance dans les applications, le corollaire suivant :

Le nombre des racines de Inéquation ¥{x) = o, qui sont comprises entre o et -h i , est au plus égal au nombre des alternances de la suite

et, si ces deux nombres différent, leur différence est un nombre pair.

(*) Le cas où F (x) est ordonné suivant les puissances décroissantes de jr donne également lieu à la proposition suivante :

Le nombre des racines positives de V équation F(cr) =: o qui sont supérieures à V unité est au plus égal au nombre des alternances de la suite

A-hB4-C-h...4-L,

et, si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre pair.