SoitJ'{x) un polynôme entier et posons

h désignant un nombre positif, il résulte de ce qui précède que le nombre des racines de l'équation F (a?) = o qui sont comprises entre o et h, ou, en d'autres termes, le nombre des racines de Téquation /(^) = o qui sont comprises entre a et rt -h A, est au plus égal au nombre des alternances de l'expression

El) posant

on verrait de même que, h étant une quantité positive, le nombre des racines de l'équation J[x) = o^ qui sont comprises entre a et a — A, est au plus égale au nombre des alternances de la suite

On peut donc énoncer cette proposition :

/{x) étant un polynôme entier, a et h deux nombres quelconques positifs ou négatifs, le nombre des racines de l'équation f{x) = o qui sont comprises entre a et a -h h est au plus égal au nombre des alternances de la suite

et, si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre pair. Remarque. — Considérons les diverses quantités

1[a),f{a)+hf[a),j{a)-^hf{a)+^^na), ...,

lO THÉOBIE DES EQUATIOHS HUMÉRIQCES.

dont la dernière est précisémenty(a -♦- A), et soient respectivement P et Q la plus petite et la plus grande d'entre elles; toutes les expressions

seront positives, il en résulte, si Ton posey(a7) ■— P = f{x), que la suite

ne présente pas d'alternance. L'équationy(a7) — P = o n*a donc aucune racine comprise entre a et a -h A; on prouverait également qu'il en est de même de Téquation /(a?) — Q = o; d'où cette conclusion importante :

Longue x varie depuis x=^a jusqu'à x = a -t- A, la valeur du polynôme f{x) demeure constamment comprise entre les nombies P et Q.

7. Le théorème précédent n'est qu'un cas particulier d'une proposition plus générale, qu'il est facile d'établir directement et que l'on peut énoncer de la façon suivante :

f[x) désignant un polynôme entier du degré n, soient w un nombre arbitraire^ a et b deux nombres quelconques ne comprenant pa^ entre eux le nombre w; cela posé ^ si Von désigne par \ le nombre des alternances que présente la suite

quand on y remplace x par a y et par y le nombre des alternances de cette suite quand on y remplace x par b, le nombre des racines de l'équation /{x) = o comprises entre aet b est au plus égal à la valeur absolue de la diffémnce Y — y . Si les nombres a et b comprennent w, le nombre des racines comprises entre aet b est au plus égal à la somme V -h V ; dans les deux cas y la différence des deux nombres y si elle existe, est un nombre pair.