PREMIERE PARTIE. I I

Pour établir cette proposition, je remarquerai qu'en posant, pour abréger,

Uo-/(a:), \],=f[x)-^{t^^x)f\x\ ..., lJ,=y(ar) 4- (co-^)/(a;) 4.(^=4^

le nombre des alternances de la suite (i), pour une valeur donnée de Xy est le nombre des variations des termes de la suite Uo, U|, . . . , U,,, U/, U/+I, . .., U;,, dont la dernière est la constante /(o) ). En supposant, pour fixer les idées a < 6 <[ w, examinons comment peut ' se modifier ce nombre de variations, quand x croît d'une façon continue depuis a? = a jusqu'à x= b. Soit une fonction intermédiaire U/, qui s'annule pour une valeur oc dex comprise entre aet b; le nombre des variations de la suite ne peut changer que si U,, et U/^., sont de signe contraire. On a évidemment

quantité qui a le même signe quey"^*(a).

Un calcul facile donne d'ailleurs

U'.(a;)=(^:iZI^>«(a.).

d'où Ion voit que U',.(a) et U|+i(a) sont de même signe. Si donc U/i(a) et U/H i(a) sont positifs, U,(a,) est également positif et l}i{x) étant croissant, pour a? = a, passe du négatif au positif, ce qui fait perdre deux variations a la suite considérée. Si, au contraire, U,| (a) et U/4.|(a) sont négatifs, \ii{x) passe du positif au négatif, ce qui fait perdre également deux variations. 11 ne peut donc y avoir que des variations perdues, et en nombre pair, si l'une des fonctions intermédiaires s'annule quand x varie depuis x =a jusqu'à .r = 6.

Quand la fonction Uq =/{ oc) s'annule, on voit qu'il y a toujours une variation de perdue; la proposition est donc démontrée, dans le cas oii

a et b sont tous deux inférieurs à ci), et une démonstration entièrement semblable à la précédente s'établira facilement dans les autres cas.

Remarque I. — Si le nombre arbitraire w est supposé infiniment grand et positif, les fonctions U^, U,, Uj, . . . ont respectivement les mêmes signes que les fonctions f[x)^ f'{^)y f"{^)* ••» ^^ ^'^" retrouve ainsi le théorème de Budan.

Remarque II, — Le nombre w étant une limite supérieure des racines de l'équation, la proposition précédente donne le nombre exact des racines de l'équation lorsque toutes les racines sont réelles et que les nombres a et 6 sont inférieurs à «. La même chose a lieu, toutes les racines de Téquation étant réelles, lorsque w est une limite inférieure des racines et que aei b sont supérieurs à o).

8. La méthode que j'ai employée ci-dessus, pour obtenir une limite du nombre des racines de Téquation f[x) = Oy qui sont supérieures à iHî nombre positif a, repose sur la remarque suivante, à savoir que

l'équation ^^— — = o a les mêmes racines et que le développement de

\ J suivant les puissances décroissantes de x est convergent pour

toutes les valeurs de x supérieures à a.

Il est clair que j'aurais pu faire également usage du développement

de l'expression /^ \p > oiip désigne un nombre entier arbitraire, et il

est même facile de prouver que l'on obtiendrait ainsi, en général, une limite plus approchée. En désignant, en effet, par ^[x) une série procédant suivant les puissances entières (croissantes ou décroissantes) de or,

on démontrera aisément que, adjésignant unnombre positif quelconque, l'expression $(x) {x — a) (laquelle est généralement une série, mais qui peut accidentellement se réduire à un polynôme entier) présente au moins autant de variations que la série 0(jc); la démonstration est entièrement semblable à celle du lenime de Segner sur lequel repose la démonstration que ce géomètre a donnée de la règle des signes de Descartes.

Il en résulte réciproquement que, F(a?) désignant un polynôme entier ou une série procédant suivant les puissances entières (croissantes