PREMIÈRE PARTIE. l

OU décroissantes de x) et a désignant une quantité quelconque positive, le développement de l'expression présente, au plus, autant de variations que le développement de F{x); on peut ajouter que, si les nombres de ces variations sont différents, leur différence est un nombre pair.

La même chose a évidemment lieu si l'on considère l'expression

plus générale -7— t' où ç{x) est un polynôme quelconque décompo-

sable en facteurs de la forme ^ — a, a étant réel et positif.

Ayant fait cette remarque importante, je considère l'expression

__ où /{x) désigne un polynôme entier, a un nombre positif et

p un nombre entier arbitraire.

Soient n le nombre des racines de l'équalion /{x) = o, qui sont supérieures à a, et V le nombre des variations que présente le développement de l'expression précédente, suivant les puissances décroissantes de x; il résulte, des propositions énoncées ci-dessus, que n est au plus égal à V (leur différence, s'il y en a une, étant d'ailleurs un nombre pair) ; le nombre V ne peut que diminuer quand le nombre entier/? augmente ; il ne peut pas d'ailleurs diminuer au-dessous d'une certaine limite, puisqu'il doit être toujours supérieur à n.

Le point essentiel dans cette méthode, pour en déduire le nombre n avec le plus d'approximation possible, serait de déterminer exactement cette limite du nombre V, lorsque/? grandit indéfiniment; mais cette recherche paraît présenter de grandes difficultés.

Je ferai, de préférence, usage de la proposition suivante :

Si l'on met la fraction r^^-^— r^ ^ous la forme suivante :

•^ {x — ay ''

Ao?" 4- Bo?? -h...-hLa:^' 4- o^\ h 7 r-i -+-... -H 7 ri)»

\x — a (^ — a)* (x — a)Pj

OU les exposants a, |3, ..., X vont en décroissant [\ pouvant être négatif)^ ce qui d'ailleurs peut se faire d'une infinité de manières^ le nombre des racines de l'équation f[x) = o qui sont supérieures au nombre positif

l4 THÉORIE DES ÉQU ACTIONS NUMÉRIQUES.

a est au plus égal au nombre des variations des termes de la suite

A, Bf «..9 1j, /2V» aP» •••♦ %^ et, si ces deux nombres différent, leur différence est un nombre pair.

Soient, en effet, n le nombre des racines de Téqualion proposée qui sont supérieures à a, et V le nombre des variations que présente le développement de T^ suivant les puissances décroissantes de x, on a, comme je Tai démontré,

Désignons maintenant par V© le nombre des variations de la suite

A, 15, • • • , JL«> /3V

et par V, le nombre des variations que présente le développement en série de l'expression

(i) Ht û-+---^7-

on aura évidemment

11 résulte de ce qui précède que V, est au plus égal au nombre des variations que présente le développement du produit par {x — a) de l'expression (i), c'est-à-dire au nombre des variations du développement de

{x — a) {x — aY '" {x — a)P--^'

en désignant par V(J3l, IB) le nombre de variations que présentent les deux quantités Jl et iB (nombre qui est d'ailleurs zéro ou l'unité), par Va le nombre des variations que présente le développement de l'expression

X'-a'^ {x — ay'^'"'^ {x — a)P-''

PRERIIÈRE PARTIE. l5

on aura donc

V,<V(5L, ÎB)4-V2 et, de même,

V,<V(ÎII, €)■+-¥,,

Vj désignant le nombre des variations que présente le développement

de l'expression

d'où l'on déduira sans peine

et de là résulte immédiatement la proposition énoncée.

9. L'application du théorème précédent se fait de la façon la plus simple dans le cas où a est égal à Tunité, cas auquel se ramène aisément le cas général par un changement de variable, et en faisant usage d'un algorithme qui a déjà été employé par Horner et par Budan.

Cet algorithme consiste à former successivement, et par voie récurrente, les différents coefficients des développements de "^ > *(__ ^ >

•^ ^ '^ ' , . . . suivant les puissances décroissantes de ce. Soit, pour fixer les idées,

on écrira d'abord (Tableau A) les coefficients de celte équation (les coefficients des puissances qui manquent étant remplacés par des zéros), en les faisant suivre d'une suite indéfinie de zéros.

Au-dessous, dans une première ligne horizontale, on écrira une suite de nombres ag, a,, «a, ..., dont le premier est ao, chactm des suivants étant formé en additionnant le terme précédent avec le terme de la

suite précédente qui se trouve dans la même colonne verticale, en sorte que a< = a© + ^^^o ^a = ^i *+" *2j ..; on voit ainsi qu'à partir du terme a^ les termes suivants «g, rz^, a,, ... sont tous égaux entre eux. Les nombres ainsi obtenus sont, comme il est facile de le voir, les coef-

ficients du développement de -^^^^ suivant les puissances décroissantes

de X.

Au-dessous, dans une deuxième ligne horizontale, on écrira une suite de nombres Ôq» ^m ^29 ••• déduits des nombres «o, a^^a^^ ••• comme ceux-ci Font été de ^o» «i, as, ..., en sorte que

bo=^afii 61 = ^0-^-^0 b^ = b^-h a29 ..;

ces divers nombres sont les coefficients du développement de j^ r^

suivant les puissances décroissantes de x.

En poursuivant en observant la même loi, on formera une suite de lignes horizontales

C,) C| €'2 C^ Cj •••9

do df d^ d^ dj^ . . . ,

Cq Oj 62 ^3 ^4 • • • »

dont les divers termes donneront les coefficients des développements

suivant les puissances décroissantes

de X.

Si, en parliculier, on considère les nombres «5, 64, Cj, t/2, e,, y^, il est aisé de voir qu'à des facteurs numériques près positifs, ils sont égaux

à /(i), /(O^ /'(O» /"(')» /'V)^ /^(O; c'est dans le but de former ces nombres d une façon commode et rapide que Budan faisait usage du Tableau précédent, et il résulte de son théorème que le nombre des variations, présenté par la suite de ces termes, donne une limite supérieure du nombre des racines de l'équation qui sont supérieures à l'unité. Mais, on peut faire usage de ce Tableau d'une infinité de manières et souvent d'une façon plus avantageuse.