XVIII INTRODUCTION

ment que, lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie finie du plan, chaque racine est d'un degré entier et fini, et que leur nombre est limité (').

De même, lorsqu'une fonction est méromorphc dans une partie finie du plan, les racines et les pôles situés dans cette partie du plan sont chacun d'un degré entier et fini, et leur nombre est limité (^).

21. On établit ensuite les théorèmes suivants, qui jouent un rôle important dans la théorie des fonctions ;

Théorème I. — Une fonction, holomorphe sur toute la sphère, est constante {').

TiiÉouÉîiE IL — Toute fonction, holomorphe sur toute la sphère, excepté aupointO', qu elle admet comme pôle, est une fonction entière {'').

Théorème III. — Toute fonction, méromorphe sur toute la sphère, est une fonction rationnelle {').

Théouèiue IV. — Toute fonction analytique qui, sur toute la sphère, n'a pas de points singuliers autres que des points singuliers algébriques, c'est-à-dire des pôles ou des points critiques algébriques, et qui réadmet qu'un nombre fini m de valeurs en chaque point, est une fonction algébrique (").

On remarque, en effet, que, si autour d'un point critique la fonction acquiert^ valeurs infiniment peu différentes d'une même valeur limite, toute fonction entière et symétrique de ces/) valeurs est une fonction monotrope et continue dans le voisinage du point critique. D'autre part, chacune des branches de la fonction ayant une dérivée continue dans le voisinage du point critique, la fonction symétrique admet elle-même une dérivée continue; d'après la remarque du n" 19, cette

(1) Théorie des fonctions elliptiques, p. i

(2) lUd., p. 191.

(5) ma., p.ao4,

[*] Ibid., p. 2o5.

[^) Ihid., p. 206.

16) JJW., p.2l6.

INTRODUCTION. six

fonction admet aussi une dérivée au point critique, et cette dérivée est continue. D'après cela, toute fonction entière et symétrique des m valeurs de la fonction proposée est une fonction méromorphe sur toute la sphère, et, par conséquent, égale à une fonction rationnelle. La fonction proposée est donc racine d'une équation algébrique de degré m, ayant pour coefQcients des fonctions rationnelles de la variable.

22. Soit Y[œ, y) = o une équation algébrique et irréductible entre les deux variables imaginaires x et/, et du degré m par rapport a y. Lorsque la variable x part d'un point fixe œ^, y ayant une valeur initiale jo, et décrit différents chemins qui aboutissent à un même point X, la fonction algébrique y acquiert m valeurs en ce point. Nous associerons à la variable x la valeur correspondante de y sur chaque courbe et nous regarderons le point géométrique x comme la superposition de m points [x, y). Nous dirons que deux courbes décrites par le point {x, y) se coupent, lorsqu'au point d'intersection des deux courbes géométriques qui figurent la variation de x la valeur de y est la même. Le point {x,y) décrit une courbe fermée, ou un cycle, lorsque la valeur de y redevient la même au point de départ (' ).

23. Il est clair, d'après le théorème IV, que toute fonction analytique et monotrope du point {x, y), et qui, sur toute la sphère relative à la variable x, n'admet pas de points singuliers autres que des points singuliers algébriques, est une fonction algébrique de a;; on démontre

qu'elle est égale à une fonction rationnelle de a; et de/ (Note B).

(*) Tliéorir. dex fondions clUpiitjacH, p. 661.

THÉORIE