FORMATION BES INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPÈCE

d'où

«/-«;+, =/f//, ?>'u^~'^i = Kq\ Si l'on pos(!

X' — X"''', Y' --■ v'x'V-' -—- Kl' X"l' , ('7''" >/,

14" — A'ï- H'.X'*!' ■^- SAa^a- À'* -*"' H- A'„. g- ,

F'''(ic", c') étant un polynôme entier en x" et v' , et l'équation (8) devient

A une racine simple X' de ré(|uittioii I.j" — o covrespondcnt p' valeurs de y' que l'on peut représenter par la formule y' = (r, A-y")x'''\ c'( étant l'une quelconque des racines de l'équation binôme s/f' ^\', et y" ayant une valeur infiniment petite. En remplaçant r' par c', -\-y" , l'équation (i.^) devient

A une valeur infiniment petite de x" correspond une seule valeur infiniment petite dey", qui est par conséquent fonction holomorphc de x" et se développe en une série convergente

ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de x". A cette valeur de y" correspond un système circulaire de p' valeurs de y' par

n l'REMiKItE PARTIE, - CHAPITRE I.

rapport ;i la variabhî x',

f' :=cc'''' \ !'',■+ ax''" -r- bx'''' H- ■ ■ .}, et un système circulaire de pp' valeurs de y par rapport à la vaviaMc x,

j = a;'' [l'i H- x''''' \v\-i- ax''''' + hx''''' -\~ . . ■ JJ.

On procédera de la même manière pour chacune des racines multiples des équations L = o. Si les équations L''' = o, relatives aux côtés des différents polygones P' que l'on a à former ainsi, n'ont pas de racines multiples, les n valeurs infiniment petites seront séparées dès la seconde approximation.

7, Nous avons vu (n'^ 3) que, lorsque les équations L = o n'ont pas de racines multiples, il est nécessaire que tous les termes du polynôme Q(a:,j) qui se rapportent aux points du réseau situés au-dessous de la ligne brisée P, ou sur cette ligne, aient leurs coefficients nuls. La même propriété existe lorsque ces équations ont des racines multiples, par exemple lorsque l'équation L,- = o a une racine multiple \ d'ordre n'. Il suffit, pour cela, de démontrer que, si la droite r^ n'était pas au-dessus du côté C,, elle aurait toujours une longueur égale ou supérieure à celle de ce côté. Supposons que l'on ait

le nombre entier s étant égal ou supérieur à zéro. Si l'intégrale (12), qui devient

restait finie, à plus forte raison l'intégrale (.81 r O"'(-^', r')^.

df conserverait une valeur finie.

FORMATION DES INTÉGRALES DE PliEMIERE ESPECE, lli

Nous poserons

et nous dirons que !e terme K/s'y''^'"' x'"'"' correspond au point (y', 3') (lu réseau. Concevons que l'on remplace le polynôme F'''(a;', j') par a:'F'''(a/, j'), ce qui revient à soulever d'une unité la ligne brisée P'. Cette ligne commençait au point n' sur Oa; après le soulèvement, elle commence au point {n', i) sur 0'«'. Si les équations L''' = o, relatives aux côtés du polygone P', n'ont pas de racines multiples, il est nécessaire, d'après le raisonnement du n" 3, que tous les termes du polynôme Q'"(a;',7'} qui se rapportent aux points du réseau situés audessous de la ligne brisée P' ou sur cette ligne, soulevée comme nous l'avons dit, aient des coefficients nuls. Aux n' points situés sur OV.' correspondent les termes de Q'''(a;',/')indépendantsdeic'; d'après la formule (9), ces termes proviennent du développement de

on aurait donc

et ■>- serait aussi racine d'ordre n' de l'équation i^i = o et, par suite, on aurait encore ï,>^/.

Ainsi les conditions trouvées précédemment sont toujours nécessaires, et, quand elles sont remplies, l'intégrale se ramène à la forme

Biais la racine multiple 1 exige des conditions nouvelles que l'on obtiendra par le même procédé. Si les équations L'" = o n'ont pas de racines multiples, pour que l'intégrale (i3) conserve une valeur finie, il est nécessaire et il suffit que tous les termes du polynôme Q*'' (a:', 7'), qui correspondent à des points du réseau situés au-dessous de la ligne

ii PREMIÈRE PARTIE, - aiAPITRE I.

brisée P', ou sur cette ligne, aient leurs coefficients nuls; le nombre

(les conditions nouvelles sera exprimé par la 'formule

pareille à la formule (i4)- Chacune des racines multiples des équations L = o exigera un nombre analogue de conditions nouvelles.

8. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les équations L"' = o n'ont pas de racines multiples. Lorsque l'équation L^" = o a une racine multiple V d'ordre n", l'équation (i6] admet n" racines infiniment petites; pour les séparer, on formera un polynôme P" dont cbaque côté donnera un groupe de racines du même degré a l'aide d'une équation L'-' = o. Si les équations L'-' = o n'ont pas de racines multiples, le partage des racines en systèmes circulaires sera effectué à cette troisième approximation. Il faut nous assurer que toutes les conditions trouvées précédemment sont encore nécessaires. Nous avons vu (n" 7) que, si la parallèle T,- au côté €,■ du polygone P n'était pas au-dessus de ce côté, l'intégrale (i8) devrait rester finie. Nous avons démontré aussi, dans ce même numéro, que, si les équations L''' = o, qui sont celles de la seconde approximation pour l'équation F(^,7) = o, n'ont pas de racines multiples, pour que l'intégrale proposée (2) reste finie, il est nécessaire que tous les termes du numérateur Q(a;,y), qui correspondent à des points situés au-dessous de la ligne polygonale P, ou sur cette ligne, aient des coefficients nuls. En appliquant cette propriété à l'intégrale (18) et remarquant que les équations 1/^1 = o sont précisément celles de la seconde approximation pour l'équation ¥'■''> {ce', y'), on en conclura que tous les termes du numérateur Q'-'^{x',y'), qui correspondent à des points situés au-dessous de la ligne brisée P' ou sur cette ligne, soulevée d'une unité, ont leurs coefficients nuls et, par conséquent, que 1 serait encore racine d'ordre n' de l'équation i^i = o. Il en résulte que tous les termes du polynôme Q (ir, y), qui correspondent à des points situés au-dessous de la ligne brisée P, ou sur cette ligne, ont leurs coefficients nuls. L'intégrale proposée se réduit alors à la forme (t3) et, d'après le même principe, tous les