NOMBRE DES INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPÈCE

termes du polynôme Q'''(a?', /'), qui con'espondent à des points situés au-dessous de la ligne brisée P', ou sur cette ligne, ont leurs coefficients nuls. Ainsi, toutes les conditions trouvées précédemment, et dont le nombre est Jb-hlx', sont encore nécessaires.

La seconde transformation ramène l'intégrale (t3) à la l'oi'me

Pour que cette intégrale reste finie, il est nécessaire et il suffit que tous les termes du polynôme Q^^\a;",y") qui se rapportent à des points situés au-dessous de la ligne brisée P", ou sur cette ligne, aient leurs coefficients nuls. Le nombre des conditions nouvelles exigées par la racine multiple >.' est

--iS

On continuera de cette manière jusqu'à ce que les racines soient séparées, c'est-à-dire jusqu'à ce qu'on arrive à des équations L'*' — o n'ayant plus de racines multiples ('}. Si s -ht est le plus grand nombre des opérations successives nécessaires pour effectuer cette séparation, le nombre des relations linéaires auxquelles doivent satisfaire les coefficients du polynôme Q, pour que l'intégrale proposée conserve une valeur finie dans le voisinage du point critique [a, b), est

[32) Ajn,*) — A, -+- 2.x' -h IX" -;-...-- ^X'^\

Degrés c/es points critiques.

9. Les points critiques sont déterminés par les deux équations simultanées Yix, y) = o, V (x,y)^ o. Si l'on désigne par j-,, y.,, ..., y,„

■ {') Théorie des fonctions dlipliqiie.'i, p. 4^.

les m racines de la |iremicre équation, l'équation

résultant de réiimination de y entre ces deux équations, donnera les valeurs de x pour lesquelles l'équation proposée admet des racines égales. Soit a une racine de l'équation résultante ; si, pour x = a, l'équation Y{x,y) = o admet n racines égales a b, nous dirons que le point {a, b) est un point critique de l'ordre n. A une valeur de œ voisine de a correspondent n valeurs de / voisines de b; le produit des n valeurs correspondantes de la fonction Y'y(a;,y] est divisible par une certaine puissance de x~a, dont l'exposant sera appelé le degré du point critique et sera désigné par D(„,4j.

Nous supposerons, comme précédemment, que l'origine a été transformée au point critique. La première substitution {n° 3) nous a donné

Bornons-nous, pour le moment, au premier facteur x'°'~''^^^''. Les /Cip valeurs de j, qui se rapportent à un même côté G; du polygone P et qui sont du même degré ^., fournissent une puissance de x dont l'exposant est

Pour les n valeurs de/, on a l'exposant

La comparaison des formules (i4) et (24) conduit à la relation

(i5) (D— -lA' = 11-- y ki.

Si les équations L = o n'ont pas de racines multiples, le second fac-