NOMBRE DES INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPÈCE

teur F",*'{x',j') n'étant pas infiniment petit, on a ainsi le degré du point critique.

10. Lorsque l'équation l., = o admet une racine multiple À d'ordre /i', la fonction f\V{^',y) étant infiniment petite pour \espn' valeurs correspondantes dey, il en résulte une augmentation du degré du point critique. On a posé/=(ri -r-y)x"': a chaque valeur dey' correspond une valeur de y considéré comme fonction de cc^ et, par conséquent, p valeurs de j considéré comme fonction de a:; pour ces p valeurs dey, la valeur de la fonction F^;''(iip', j') étant la même, chacune des valeurs de cette fonction entrera p fois comme facteur, c'est-à-dire sera élevée à la puissance 7) dans le produit R(a;). A une valeur infiniment petite de x' correspondent n' valeurs infiniment petites dey', et la seconde substitution donne

Pour ces n' valeurs de y', le premier facteur fournit une puissance de œ' ayant pour exposant

c'est aussi l'exposant de la puissance de x, puisque chacune des n! fonctions T^.''{œ',y') doit être élevée à la puissance p. La comparaison des formules (19) et [27) conduit à la relation

(28) iS)' ~'iX' -"-Ti — y k';,

pareille à la relation (aS). Si les équations L''' = o n'ont pas de racines multiples, le second facteur F^/'(a;",y") n'étant pas infiniment petit, on a ainsi l'augmentation du degré du point critique due h la racine multiple 1. Chaque racine multiple des équations L — o produira une augmentation analogue du degré.

18 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE î.

11. Lorsque l'équation L"' = o admet une racine multiple y d'ordre n", la fonction V^;'{x",y") étant infiniment petite pour les p'n" valeurs correspondantes de y', il en résulte une nouvelle augmentation du degré. La troisième substitution donne

( ^.f)) F^-,'' {x", x"] = x"^.c'i-')v-"-^?" F!,il' (x'", x'").

Pour les n" valeurs de y", le premier facteur fournit une puissance (le ce" ayant pour exposant

(3o) ffi"= ^ («';3';.^,p;^';.;,)/".

C'est aussi l'exposant de la puissance de x' et de celle de x, puisqu'il faut élever chacune des fonctions {29), d'abord à la puissance/)', puis h la puissance p. La comparaison des formules (21) ot {3o) montre que ce nombre satisfait à la relation

(:Si) (Q" - 'iX" - n" — S K'

pareille aux relations (25) et (28).

On continuera de cette manière jusqu'à ce qu'on arrive à des équations L'-'' = o n'ayant plus de racines multiples. Le degré du point critique {a, b) sera

(32) D(„,*, :iiTà)-^2Œi' + 2CB''-^. . .+2(D0'f.

De la combinaison des relations précédentes on déduit la relation

' ' \ -1k--1k' -Ih" ■-... -I.k<-'\

les nombres A se rapportant aux côtés du polygone P, les nombres A' aux cotés des polygones P', etc.