NOMBRE EES INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPÈCE

12. La considération du nombre des lacets donne à cette équation une signification trfes-simple. On sait que les lacets binaires relatifs aux /> racines d'un système circulaire se réduisent à/j— i d'entre eux {'); d'après cela, le nombre N(„,;,) des lacets distincts relatifs au point critique {a, b) est égal au nombre n des racines qui deviennent égales en ce point, diminué du nombre des systèmes circulaires suivant lesquels elles se distribuent. Considérons les équations L''^' = o relatives aux polygones ?'*■' du même ordre dans la série des opérations; chaque racine simple \^'"> de l'une de ces équations donne un système circulaire da pp'p"...p'-''^ valeurs de/; le degré de l'équation étant B''\ et n''"^'' désignant l'ordre ou le degré d'une des racines multiples, le nombre des racines simples de ces équations est 2F' — 2n'''"^''. Le nombre des systèmes circulaires est donc

iiu en déduit le nombre des lacets

^ ' ( - 2/f ~ Ik- -Ik" -...- 2/f<'-\

et l'équation (33) devient

Nombre des intégrales abéliennes de première espèce.

i3. Concevons que l'on applique cette relation à tous les points critiques et que l'on ajoute membre à membre les équations ainsi obtenues; si l'on désigne par A le nombre total des conditions auxquelles doit être assujetti le polynôme (),{x, y) pour que l'intégrale conserve une valeur finie sur toute la sphère, par N le nombre des lacets se rapportant aux différents points critiques, et par D la somme

20 PREMIÈRE PARTIE. - CUAriTRE 1

t!es degrés de tous ces points, on a

Jiais \â somme D des degrés de tous les points eritiques est égale au degré m{m— i) de l'équation résultante R(a7) = o; on en déduit

et l'on remarque que le nombre N des lacets est pair.

Le polynôme Q(^,y), du degré jïi — 3, contient^ — ■ — --

coefficients; ces coefficients sont assujettis à vérifier A équations linéaires et homogènes; nous supposerons ces relations distinctes; si l'on appelle p la différence

(38) „=.li=iIîl::iî>-A = ^.. -,„.-,„

tous les coefficients pourront s'exprimer par des fonctions linéaires et homogènes de p quantités arbitraires M,, M™, .... M,,,

Tout polynôme Q satisfaisant aux conditions prccédcnles sera de la forme

(jg) 0= M, Q, -j-M.Qi + ...-:- MpQ|„

Qi, Qo, .... Qp étant p polynômes particuliers du même degré et satisfaisant aux mêmes conditions. Il en résulte que toutes les intégrales abéliennes de première espèce se ramènent à p d'entre elles. Si l'on représente par c''', c'-', .... f'^' celles qui se rapportent aux polynômes Oi. Qa. -■" Q|i. c'est-à-dire si l'on pose

l'indice i variant do i it p, une intégrale qnelconqnc de première espi?ee sera

(i(i) "= f" ' Srdx---.--tl,t<"-[-M.pi-'>-.-.-.-rM,ti('K