NOMBHE DES INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPÈCE

Remarques sur les points multiples.

14. Les points critiques de la fonction y A.Q x définie par l'équation Yix, y) = o sont \&?, points multiples de la courbe analytique Y[x, y) = o, excepté les points critiques où /= f. Pour ceux-ci, la ligne P se .réduisant à une droite allant du point n sur l'axe Oa au point i sur Op, et le point 0' étant situé au-dessus de cette droite, le polynôme Q n'est assujetti à aucune condition; mais pour tous les autres le polynôme Q est assujetti à un certain nombre de conditions, ce qui signifie que la courbe Q = o passe par les points multiples de la courbe F = o et a avec elle, en cbacun de ces points, un certain nombre de points communs. On obtient les points communs aux deux courbes en éliminant y entre les deux équations F=o, Q—o; si l'on désigne,

comme au n" 9, par j,, y. y,,, les m racines de l'équation F--- o,

l'équation résultante sera

(4'*) Si{x] -- Q{x,j^,]Q[a:,x-^.- . . 0(^> J'«' — ■ »■

î.e produit des n valeurs de la fonction Q{x,y) relatives aux n valeurs de / voisines de b sera divisible par une certaine puissance de a; — «, dont l'exposant sera le degré du point {a, b) considéré comme point commun aux deux courbes F = o, Q = o.

Supposons, comme précédemment, l'origine transportée au point critique. La première substitution nous a donné (n" 4)

Si l'on se borne au premier facteur, les /c,p valeurs ûey, qui se rapportent à un même côté C,- du polygone P, fournissent une puissance do X dont l'exposant est entier et égal k

{xi— i)kiq-\-{^i— \)kipA-ki

■ =--. («,— !) (P,V, - ?,-) + (Pi - l) (^,- - «,-..) H- ki

yGoosle

"2-2 PREMIËRE PARTIE. - CHAPITRE !.

Pour les n valeurs infiniment petites de/, on a l'exposant

lequel, en vertu de la formule (i4) du n" 5, est égal à a^i..

Si les équations L = o avaient des racines multiples, on trouverait de même, d'après le raisonnement du n" 10, que le second facteur donnerait pour chacune d'elles une nouvelle puissance de x ayant pour exposant 2-x', et ainsi de suite. Il en résulte que le point multiple {a, b) est un point commun du degré 2A|„,4| aux deux courbes F=o, Q = o. La somme des degrés pour tous les points multiples est égale

L'équation résultante (42) est du degré m{m~ 3). Outre les points précédents, les deux courbes ont m(m~ 3) — 2 A, c'est-à-dire 2(p— i) autres points communs. La courbe Q = o, qui satisfait aux A conditions relatives aux points critiques, est définie par " ■■ ^"^"^ ■ ' ■ ' — A, c'est-à-dire par p — i points pris à volonté sur la courbe F = o; étant ainsi déterminée, elle coupe la courbe F--o en p— i autres points dépendant des premiers.