CHAPITRE II

DES DEUX ESI']': ci: S IIK LACETS.

iMcets de première espèce.

15. Dans l'étude de la fonction algébrique définie par l'équation irréductible F(a7,y) = o, du degré m, nous prendrons pour origine des lacets de première espèce un point x„ pour lequel l'équation a

m racines simples j^-J .//«-i* et nous supposerons que l'origine

des coordonnées a été transportée en ce point. Lorsque les racines qui deviennent égales en un point critique se partagent en plusieurs systèmes circulaires, nous regarderons ce point critique comme la superposition de plusieurs points critiques distincts, à chacun desquels sera affecté un système circulaire de racines. Sur un lacet (a), décrit dans le sens positif, c'est-à-dire dans un sens tel que l'on ait à sa

gauche l'aire du cercle a, se permutent/7 racines jg^, y^^ y^ , et

nous regarderons ce lacet comme la réunion des/) lacets binaires (')

La suite de ces p lacets binaires, reproduisant la racine initiale et donnant une intégrale nulle, constitue une ligne neutre que l'on peut ajouter à un contour quelconque, sans changer la permutation des racines sur ce contour, ni la valeur de l'intégrale définie.

On peut former un système de hcetsfondamentau3::{^), c'est-ii-dire un système de m — i lacets unissant les m racines, de plusieurs manières. Nous adopterons le mode suivant : nous prendrons d'abord

( ' ) Théorie des fa [^) Ibid., p. 53.'

2i PREMIÈRE PARITE, - CHAPITRE 11,

les p -'■ i lacets binaires

d'un premier système circulaire [a], qui unissent les/) racines j^,. j^,^, ..., /. . Un second système circulaire [b) a des racines communes avec le premier et d'autres différentes; nous désignerons par j^^ l'une quelconque des racines communes. Le système circulaire [b] est formé d'un premier groupe de racines y,;,, //,,, .... //,. appartenant au système (a), d'un deuxième groupe JV,.^, jv,, ,, ...,>■/,, n'appartenant pas ■A ce système, d'un troisième groupe yi,^, ^, y/,.. ^, ..., v,t^„ appartenant au système (a), d'un quatrième groupe yi,.„ , y/,,, , r,',,„ n'appartenant pas à ce système, et ainsi de suite. On prendra pour lacets fondamentaux les lacets binaires

qui conduisent de la racine //,., qui est l'une ilc celles du système {<■(), aux racines nouvelles 7,^.^^. j/,.^^, ..., y,-,,; puis les lacets binaires

i}'Z"' t^)':";' ■■■• Hir .'

(jui conduisent de la racine y,;,„ qui est aussi l'une de celles du système (a), aux racines nouvelles /^.„^,, yh,„ ,< ■■■0'/<,»' ^'^ ^'"si de suite. De cette manière, tous les lacets binaires du système [b) qui conduisent à nn& racine nouvelle sont des lacets fondamentaux, tous ceux qui conduisent à une racine du système [à] sont des lacets non fondamentaux; le lacet désigné par (è)*;, est l'un quelconque des non fondamentaux.

Un troisième système circulaire [c) a des racines communes avec l'un ou l'autre des deux précédents et des racines différentes. Nous désignerons par y,-,- l'une quelconque des racines communes. Le système circulaire (c) est formé d'un premier groupe de racines communes ji'y; , /(,, ...,1'/,., d'un second groupe de racines différentes

DES DEUX ESPliCES DE LACETS. 2S

yi;. , y,; , ..., y,:,,, et ainsi de suite. On prendra p.oui' lacets fondamentaux les lacets binaires

qui conduisent de l'une des racines précédentes y/^. aux racines nouvelles j/.,^^, js, ,. ■■■- /*,; puis les lacets binaires

qui conduisent de l'une des racines précédentes j/,,„ aux racines nouvelles y/,.,, ^, /a„ ,,■ ■■■- /*,,„. ^t ainsi de suite. De cette manière, tous les lacets binaires du système (c) qui conduisent à une racine nouvelle sont des lacets fondamentaux; les auti'es sont des lacets non fondamentaux; le lacet désigné par (c}î; est l'un quelconque des non fondamentaux. Supposons, pour fixer les idées, qu'à l'aide des trois systèmes circulaires (a), (b), (c) on ait obtenu de la sorte m — i lacets unissant les m racines de l'équation; le système des lacets fondamentaux sera formé; tous les lacets relatifs aux autres systèmes circulaires (d), (e), ... seront des lacets non fondamentaux.

Circuits de première espèce.

16. Nous appelons circuit la ligne fermée composée d'une droite très-grande 0^ et d'une circonférence ayant son centre en et enveloppant tous les points critiques [Jig. 4)- Comme on peut la parcourir successivement avec chacune des tu racines ya, y^, ••■, ym-\, on aura ainsi les m circuits de première espèce. Chacun de ces circuits, décrits dans le sens positif, c'est-à-dire dans un sens tel que l'on ait à sa gauche l'aire enveloppée par le circuit, se ramène à une suite de lacets binaires de première espèce décrits dans le sens positif. Un lacet binaire entre d'une manière effective dans un circuit et dans un seul; car, si l'on remonte la suite des lacets géométriques de première espèce, à partir de l'entrée du lacet (a), avec la VdiCm^ y^^, on arrive à

20 PREMIERE PARTlIi. - CHAPITRE II.

l'origine du circnit avec une racine fléterminée que nous désignerons

par Va ; i! eu résulte que \esp lacets binaires entrent respectivement dans les/) circuits

Imaginons que la figure soit rapportée sur la sphère langenîe au

point {Jfg- 5) ( ' ). Au point diamétralement opposé 0', les m racines

(' ) Thvorie dca jonctions cUipiiques, p. i5.

deviennent infinies; mais, comme elles restent monotropes dans le voisinage, on peut les regarder comme distinctes; d'ailleurs, l'intégrale reste finie et conserve la même valeur, quand la ligne d'intégration, qui va d'un point à un autre, traverse le point 0', en se déformant d'une manière continue sur la sphère; le point 0' se comporte donc comme un point ordinaire. Nous le supposerons joint au point par le demiméridien OLO' qui se projette sur la droite infinie 0/. Au circuit tracé dans le plan correspond sur la sphfere un lacet formé de l'arc de méridien OL et d'un petit cercle enveloppant le point 0' et partageant la sphère en deux zones, dont la supérieure contient tous les poiiits critiques. Ce lacet (0'), pouvant se réduire à un simple point, ramène évidemment la racine initiale et donne une intégrale nulle. Le circuit dans le plan jouit de la même propriété.

Lacets de seconde espèce.

17. Nous les formerons sur la sphère à l'aide d'arcs de grand cercle allant du point 0' aux points critiques et de petits cercles décrits autour de ces points, et nous nous représenterons ces lacets comme partant aussi du point 0, en les faisant précéder et suivre du demiméridien OLO'. Soient ONG' et OQO' deux demi-méridiens comprenant le point critique a et n'en comprenant aucun autre. Le lacet de seconde espèce (a'), partant du point 0' et décrit dans le sens positif, c'est-a-dire dans un sens tel que l'on ait à sa gauche l'aire du cercle «, se ramène au demi-méridien O'QO suivi du demi-méridien ONG'; en le faisant partir du point 0, on a les chemins

( OLO' -1- 0' QO ! + I ONO' -^ 0' LO ) ,

qui se ramènent dans le plan aux deux chemins OhqO et QnrlO [fig. k). Il suffit, pour cela, de considérer le chemin GLO'+G'QG comme enveloppant la partie postérieure de la sphère, et le chemin ONO' -f- 0X0 comme enveloppant la partie antérieure. L'un est la partie du circuit qui suit le lacet de première espèce (a), l'autre celle qui précède ce même lacet. Si l'on part avec la racine /„ , on remonte

l;i seconde partie du circuit {C)l'. jusqu'à la fin du lacet {0,%"'', où l'on arrive avec la racine j-^^. /, laissant de côté ce lacet, on remonte ensuite la première partie du circuit (C)^;:;;, ce qui conduit à la racine 7„ ^. On obtient ainsi le lacet binaire de seconde espèce («')="'• "ï"^ l'on fait correspondre au lacet binaire de première espèce {a)f;:'-'. De cette manière, auxjo lacets binaires de première espèce

correspondent \cë j) lacets bioaires de seconde espèce

qui permutent circulairement les/J racines jo^, ya,- ■••< y<x •

Remarquons que les lacets binaires de seconde espèce {«');;;;■'■', qui,

décrits dans le sens positif, conduisent d'une racine déterminée /n^ à

une autre, correspondent aux lacets binaires de première espèce (a}:',*'

qui entrent dans le circuit (C)^.

Il est clair que l'on peut effectuer la permutation des m racines de

l'équation à l'aide des lacets de seconde espèce comme avec ceux de

première espèce.

Circuils de seconde espèce.

18. Le circuit de seconde espèce, partant du point 0', se compose d'un arc de grand cercle O'L' {Jig. 5), situé dans le même plan méridien que OL, et d'un petit cercle enveloppant le point 0, et partageant la sphère en deux zones, dont l'inférieure contient tous les points critiques; il se ramène sur la sphère à une suite de lacets de seconde espèce. On imaginera qu'il part aussi du point 0, en le faisant précéder et suivre du demi-méridien OLC. Sur le plan tangent en (Jig. 4)> î' 86 projette suivant un petit cercle relié au point par le rayon 0/' et à l'extérieur duquel sont placés tous les points critiques.

U est aisé de voir que le circuit de seconde espèce (C')J;:+; contient le lacet («')";■'; car la première partie de ce circuit, partant du point 0',

jusqu'à l'entrée du lacet [a'), et décrit dans le sens positif, se ramène .nu demi-méridien O'L'O, suivi du demi-méridien OQO' [fig. 5); en le faisant partir du point 0, on a le chemin

OLO' H-- 0' L' H- OQO' + 0' J, 0,

ou plus sinijilcmont

OQO'^.0'LO,

qui se ramène dans le plan au chemin OgslO [fig. 4); c'est la seconde partie du circuit de première espèce (G)^'; que l'on suit à partir de la fin du lacet (a)!;"^', avec la racine /^, ^, ce qui conduit a la racine y„^. Quand on décrit le circuit de seconde espèce avec la racine initiale j^,^ ^, on arrive donc à l'entrée du lacet (a') avec la racine y^^, qui se permute ensuite sur ce lacet en ja.^ ^; ainsi le cii'cuit (C')J;;^| contient le lacet de seconde espèce (a')^"'. Il en résulte que les p lacets binaires de seconde espèce

entrent respectivement dans les p circuits de seconde espèce

lfij„. (C')J [C%;

Remarquons aussi que les lacets binaires de première espèce {o.)%'-", qui, décrits dans le sens positif, conduisent à une racine déterminée 7^M-i' correspondent aux lacets binaires de seconde espèce (a')^'""- l^i' entrent dans le circuit (C')J;:;^;.

19. Voici encore quelques propriétés des circuits qui nous seront utiles. Bans n circuits de première espèce, n étant plus petit que m, peuvent entrer les p lacets binaires de première espèce de quelquesuns des systèmes circulaires; mais les lacets d'autres systèmes circulaires n'y entrent que partiellement. Désignons, en effet, par

ces n circuits. Supposons qu'aucun lacet n'y entre sans que tous ceux du même système circulaire n'y entrent aussi. Appelons/c;^, l'une quel-

30 PliEiMlÈRE PARTIE. - CHAPITRE II.

conque des n racines jj.yo' ■•■*yn relatives aux n circuits; les lacets binaires positifs de seconde espèce qui conduisent de cette racine à une autre correspondent, comme nous l'avons vu, aux lacets binaires de première espèce qui entrent dans le circuit (C)^;;. Soit (a)^^' l'un de ces lacets; le lacet suivant (a)^"; du même système circulaire entre, par hypothèse, dans un autre (C)";:^; des n circuits, et le lacet de seconde espèce (a')^' conduit de la racine Jk, à une autre Jm^^^ des n racines 7i' Jii' ■■■' y,:- De même, le lacet précédent {a)%^„ entre dans un autre (C);;;; des n circuits et le lacet de seconde espèce {o.')Z^, décrit dans le sens négatif, conduit aussi de la racine /„^ à une autre 7a^,, des n racines. Il en résulte qu'en partant de l'une de ces n racines il serait impossible de passer aux m — n autres racines; la fonction algébrique y n'acquerrait pas ainsi plus de n valeurs différentes, et l'équation proposée Y{œ, j) = o ne serait pas irréductible (').

Des p lacets binaires de première espèce d'un système circulaii'e, q sont fondamentaux, q pouvant être nul, et jo — ^ non fondamentaux. Il est impossible que les n circuits ne contiennent aucun des p — q lacets non fondamentaux des systèmes qui y entrent partiellement et qu'ils les contiennent tous. Désignons, en effet, par (V)^| la suite des lacets fondamentaux de première espèce qui conduit de la racine j^ à la racine y/,. En introduisant le même lacet fondamental un nombre pair de fois, savoir un certain nombre de fois dans un sens et le même nombre de fois en sens contraire, et réunissant les n circuits, on forme le cycle

Les systèmes circulaires qui entrent complètement dans les n circuits peuvent être supprimés. Si les n circuits ne contenaient aucun des p—q lacets non fondamentaux des systèmes qui y entrent partiellement, le cycle serait formé uniquement de lacets fondamentaux et contiendrait un nombre impair de fois ceux des q lacets fondamentaux des systèmes précédents, qui entrent dans les n circuits, ce qui est impossible (^). Si les n circuits contenaient les p —q lacets non

(I) Théorie <Ie.t f/mciians ctiiptiqne.t , p, 217.

(■) ;JM., ,,, .7..

DES DEUX ESPECES DE LACETS. ;il

fondamentaux de tous les systèmes qui y entrent partiellement, en introduisant dans le cycle la suite des p lacets binaires de chacun de ces systèmes décrits en sens rétrograde, on supprimerait ces p — q lacets; ceux des q lacets fondamentaux qui y entrent déjà seraient aussi détruits, et les autres entreraient un nombre impair de fois.

On résume ce qui précède en disant qu'un nombre de circuits moindre que la totalité contiennent au moins un lacet non fondamental d'un système circulaire, sans les contenir tous.

Manie're déformer le second système de lacets fondamentaux.

20. On pourrait former un système de lacets fondamentaux de seconde espèce, comme on a formé le système des m— i lacets fondamentaux de première espèce, en n'employant que des lacets binaires; mais il est préférable de se servir de lacets complexes et de les choisir de telle sorte qu'ils correspondent à des lacets non fondamentaux de première espèce.

Dans chaque système circulaire, nous remplacerons les/)— i lacets binaires

qui unissent les /; racines j\, , j„^, ,,,, y,,. , par les p — i lacets complexes

qui unissent à la racine y^ ou y^, chacune des autres. Nous désignerons d'une manière générale par {a')'C ^'^ ('^'X* '^ ^^^^^ complexe

■iH PREMIÈRE PARTIE. - CHAPllUE II,

l'indice r variant de i h p — r, et nous le ferons correspondre au lacet binaire de première espèce (a)J"'- Il se ramène à un chemin formé de la seconde partie du circuit (C);;;, du lacet (a) décrit p — r — \ fois dans le sens positif, ou r+i fois dans le sens négatif, et de la première partie du circuit (G);\ Nous dirons qu'il unit tes deux racines Jo, et j„^. ou les deux circuits (0)^; et (C);;.

Nous avons supposé (n" 15) le système des m~ i lacets fondamentaux de première espèce formé de lacets binaires appartenant aux trois systèmes circulaires (a), [b), [c). S'il y a d'autres systèmes circulaires, nous prendrons pour premiers lacets fondamentaux de seconde espèce les/) — r lacets complexes

relatifs à l'un d'eux {d), et qui correspondent aux lacets non fondamentaux de première espèce

Ces lacets de seconde espèce unissent les /j racines

ou les circuits de première espèce

(|ui contiennent les p lacets binaires du système (d).

D'après la loi établie au numéro précédent, ces p circuits contiennent yu moins un lacet non fondamental de première espèce d'un autre système circulaire, par exemple du système (c), sans les contenir tous. Nous désignerons par (c)î; l'un des lacets non fondamentaux qui entrent dans les circuits précédents, ce qui revient à dire que {C)]i est l'un de ces circuits, ou jv l'une des p racines précédentes. Soit {c)^^' l'un des lacets non fondamentaux du système [c) qui entrent dans de nouveaux circuits; nous prendrons pour lacets fondamentaux de se-

condc espèce les lacets complexes {c')f^, qui correspondent aux lacets non fondamentaux (c)'^' de première espèce, et qui unissent à l'un des circuits précédents {C)]i les nouveaux circuits (C)^;;, et qui, par conséquent, unissent à la racine y-^,' "ïi^i ^^t l'une des précédentes, les racines nouvelles y^^.

Les deux groupes de circuits précédents contiennent au moins l'un des lacets non fondamentaux d'un autre système circulaire, par exemple du système (&), sans les contenir tous. Nous désignerons par (6)f;| l'un des lacets non fondamentaux de ce système qui entrent dans les circuits précédents, ce qui revient à dire que (C)^; est l'un de ces circuits, ou y^ l'une des racines précédentes; soit (è)*"' l'un quelconque des lacets non fondamentaux du système {b) qui entrent dans de nouveaux circuits; nous prendrons pour lacets fondamentaux de seconde espèce les lacets complexes {b')l°,, qui correspondent aux lacets non fondamentaux {b)l'*' de première espèce, et qui unissent à l'un des circuits précédents (C)^; les nouveaux circuits (C)^;;, et par conséquent à la racine jp^, qui est l'une des précédentes, les racines nouvelles y^^.

On continuera de cette manière jusqu'à ce qu'on ait uni les m circuits de première espèce, et par conséquent les m racines, par m— i lacets complexes de seconde espèce. D'après le mode de corrélation adopté, les lacets fondamentaux de seconde espèce correspondent à des lacets non fondamentaux de première espèce. Nous supposerons, pour fixer les idées, que le système des m— i lacets fondamentaux de seconde espèce est forme à l'aide des trois systèmes circulaires {d'),