CHAPITRE JÎI

PÉRIODES DES ISThXIlAEES AEÉLIENSES.

A'omhre des périodes.

21. Les périodes d'une intégrale abélieiine de première espèce sont les valeurs de l'intégrale définie relatives aux différents cycles simples, c'est-à-dire aux cycles formés chacun d'un certain nombre de lacets fondamentaux et d'un seul lacet non fondamental ('). Considérons d'abord les cycles simples de première espèce. La somme des intégrales relatives aux p lacets binaires d'un même système circulaire étant nulle, la somme des périodes correspondantes est aussi nulle, et l'une d'elles est égale et de signe contraire h la somme des p— i autres. On peut, d'après cela, dans la recherche du nombre des périodes, faire abstraction de l'un des lacets binaires de chaque système circulaire, ce qui réduit le nombre des lacets de première espèce à N = l{p — i). Dans ce qui suit, nous conviendrons de faire abstraction des lacets désignés par (a)f;, {b)li, (c)*;, ..., en observant que, d'après la manière dont nous avons disposé les indices, aucun d'eux n'est fondamental, ni ue correspond h uu lacet complexe de seconde espèce. Nous partagerons les N lacets restants en trois catégories : i" les m— i lacets fondamentaux; les périodes correspondantes sont nulles; 2" les N— 2(m— r) = 2p(n''13) lacets non fondamentaux qui correspondent il des lacets non fondamentaux de seconde espèce ; nous représenterons par (U|, w,, ..., (d,p les périodes fournies par les cycles simples qui les contiennent; 3" les m— i lacets non fondamentaux qui correspondent aux lacets fondamentaux de seconde espèce; nous allons démontrer

( ' ) Tliéaiiu des fonctions eUiptiqucf, p. i

PÉRIODES DES INTÉGRALES AEÉLIENNliS. 33

que les périodes qui s'y rapportent sont égales à des sommes de multiples des ap périodes ta, en d'autres termes, que les cycles simples qui contiennent ces m — i derniers lacets se ramènent aux cycles simples précédents.

Considérons les circuits de première espèce. L'intégrale relative à ehacun d'eux étant nulle, la somme des intégrales relatives aux lacets binaires qui entrent dans le circuit est nulle. La somme des périodes correspondantes est aussi nulle; car le circuit est un cycle, que l'on ramène à une somme de cycles simples, en introduisant des lacets fondamentaux, parcourus chacun deux fois dans des sens contraires; il suffit donc de remplacer dans la relation les intégrales relatives aux lacets binaires par les périodes correspondantes. On obtient ainsi m relations linéaires entre les périodes; mais ces m relations se réduisent à m — I relations distinctes : car la réunion des m circuits contient les p lacets binaires de chaque- système circulaire; si donc on ajoute les m relations membre à membre, les^ termes relatifs à un même système circulaire ayant une somme nulle, on obtient une identité. Voici comment nous résoudrons ces m — i relations.

Nous avons supposé le système des m — i lacets fondamentaux de seconde espèce formé avec les lacets appartenant aux trois systèmes circulaires {d'), (c'), {b'). Lesp— i circuits (C)s; contiennent les lacets non fondamentaux de première espèce (rf)J"', qui correspondent aux lacets fondamentaux de seconde espèce {d')l°; le dernier circuit {C)||| du même groupe contient le dernier lacet {dy,i. Les nouveaux circuits (C)J;; contiennent les lacets non fondamentaux de première espèce (c)Âr'' 1"' correspondent aux lacets fondamentaux de seconde espèce (c')^;; les autres lacets non fondamentaux du même système (c), et en particulier (c}î;, entrent dans le premier groupe de circuits. Les nouveaux circuits (C)^;; contiennent les lacets non fondamentaux de première espèce (è)*^"'"', qui correspondent aux lacets fondamentaux de seconde espèce (&')';,; les autres lacets non fondamentaux du même système (b), et en particulier (è)î;;, entrent dans les deux premiers groupes de circuits.

Considérons d'abord les circuits (C)^;;, dont chacun contient un lacet (6)J';^' de la troisième catégorie et ne contient aucun des lacets non fondamentaux des systèmes (d) et (c). L'intégrale relative à chacun

36 PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE lit.

de ces circuits, ou à la somme des cycles simples qui le composent, étant nulle, on aura une équation, d'où l'on déduira la période (è)^;-" exprimée par une somme de périodes <u. Ayant trouvé les expressions des périodes {b)l'*', on aura celle de la période {b)l\.

Considérons maintenant les circuits (G)j;|;, qui contiennent chacun un lacet (c)*;-" de la troisième catégorie et ne contiennent aucun des lacets du système {d), l'un d'eux pouvant contenir le lacet (è)f;. On aura des équations d'où l'on déduira les périodes (c)^^' exprimées par des sommes de multiples des périodes w. Ayant trouvé les expressions des périodes (c)*;;-^', on aura celle de la période (c)J\ Les circuits {C)|;, dont un peut contenir le lacet [c)l\ et un autre ou le même le lacet {b)l[, donneront enfin les périodes {d)'{*' exprimées par des sommes de multiples des périodes w.

Ainsi, les périodes relatives aux cycles simples dans lesquels entrent les m — I lacets non fondamentaux de première espèce qui correspondent aux lacets fondamentaux de seconde espèce sont égales à des sommes de multiples des périodes o,, ta.., ..., Wj,,, relatives aux cycles simples dans lesquels entrent les ap autres lacets non fondamentaux de première espèce. Il en résulte que tous les cycles se ramènent à ces 2p cycles simples, et nous arrivons à cette loi générale : Le nombre des périodes de chacune des intégrales abéliennes de première espèce est double du nombre de ces intégrales [n° 13).

Périodes de seconde espèce.

22. On peut effectuer cette réduction, d'une manière analogue, ;i l'aide des lacets de seconde espèce. Nous partagerons de même les N lacets complexes de seconde espèce, que nous avons substitués aux lacets binaires (n" 20), en trois catégories : i°lesffz— i lacets fondamentaux; 2° les 2p lacets non fondamentaux qui correspondent à des lacets non fondamentaux de première espèce; 3" les m— i lacets non fondamentaux qui correspondent aux lacets fondamentaux de première espèce. Les cycles formés uniquement de lacets fondamentaux, contenant le même lacet un nombre pair de fois, savoir un certain nombre de fois dans un sens et le mcmc nombre de fois dans le sens contraire, donnent

PÉRIODES DES INTÉGEALES AiîÉUENNES. 37

des intégrales nulles. Nous désignerons par cu'j, cu^, ■... w^j, les périodes fournies par les cycles formés chacun de lacets fondamentaux et d'un seul lacet complexe de la seconde catégorie, en supposant que <o,et 11)^ se rapportent à des lacets correspondants de première et de seconde espèce. Nous appellerons cycles simples de seconde espèce ceux qui sont formés de lacets fondamentaux de seconde espèce et d'un seul lacet binaire de seconde espèce. Nous allons démontrer que les périodes relatives à tous ces cycles simples sont égales à des sommes de multiples des ap périodes ta.

Nous avons supposé [n° 15) le système des m— i lacets fondamentaux de première espèce formé avec des lacets appartenant aux trois systèmes circulaires {a), [b), (c). Les circuits de seconde espèce

(Ij

contiennent les lacets binaires de seconde espèce

dont lesjD— i premiers corresponden^ aux /) — i premiers lacets fondamentaux de première espèce

Le dernier correspond au lacet noi\ fondamental (a):;,- Les nouveaux circuits

(") )(C')1C::, (G')^:^ ■■■• (coî;:.

contiennent les lacets binaires de seconde espèce

yGoosle

38 pnEmÈRE PARTIE. - CHAPITRE III.

qui correspondent aux lacets fondamentaux de première espèce

(»)i". (*)t;. ■■■. Hi..

et nous remarquons que les lacets binaires de seconde espèce

qui correspondent aux lacets non fondamentaux de première espèce

entrent dans les circuits du premier groupe (I). De même, les nouveaux circuits

(Contiennent les lacets binaires de seconde espèce

<|ui correspondent aux lacets fondamentaux de première espèce

PÉRIODES DES INTÉGRALES ABÉLtENNES.

et les lacets de seconde espèce

( l-^');;- {cX- ■■■' (<^');;,-

(jLii coiTespoiulent aux lacets non fondamentaux de première espèce

entrent dans les deux premiers groupes de circuits (I) et (II). Comme on a, d'une manière générale.

la période relative au cycle simple qui contient un lacet binaire («O^r' ^^^ égale à la différence des périodes relatives aux deux lacets complexes (a')^ et («'}°,Vi' P**"'^' ^^^^ ^^^ systèmes circulaires suivants [d'), (e'), ..., les périodes relatives aux lacets complexes étant nulles, ou faisant partie des ap périodes w', les périodes relatives aux lacets binaires sont égales à des différences de périodes m'.

Les circuits du troisième groupe (III), ne contenant aucun des lacets (a') et {b'), donnent des équations d'où l'on déduira les périodes relatives aux lacets binaires (3), exprimées par des sommes de périodes relatives aux lacets binaires {d'), (e'), ..., et, par conséquent, en vertu de la remarque précédente, par des sommes de multiples des périodes o/. On en déduira successivement les périodes relatives aux lacets complexes correspondants, à l'aide des relations

ou (Irr, riiUilions analogues pour chaque sous-groupe; car la période

relative au dernier terme de la première équation est égale à zéro ou à l'une des périodes w'. On obtiendra ensuite les périodes relatives aux lacets binaires (3)' à l'aide des relations

car tous les termes des seconds membres sont égaux à zéro ou à des périodes t»', excepté le dernier, qui est une somme de périodes w'. Les périodes relatives à tous les cycles simples qui contiennent les lacets binaires du système (e') seront ainsi exprimées par des sommes de multiples des périodes w'.

On se servira ensuite des circuits du second groupe (II), qui ne contiennent aucun des lacets binaires du système (a'), mais ceux des systèmes {b'), (c'), {d'), ...; on en déduira les périodes relatives aux lacets binaires (2}, exprimées par des sommes de multiples des périodes <o'. Ces périodes étant trouvées, on calculera, comme précédemment, celles relatives aux lacets complexes correspondants et ensuite celles relatives aux lacets binaires (2)'. Les périodes relatives à tous les cycles simples qui contiennent les lacets binaires du système [b') seront ainsi exprimées par des sommes de multiples des périodes w'.

Les circuits du premier groupe (I) donneront enfin les périodes relatives aux cycles simples qui contiennent les lacets binaires du système (a').

On conclut de ce qui précède que toutes les périodes des intégrales abéliennes de première espèce se ramènent, pour chacune d'elles, aux ap périodes (o',, co'g, ..., i»',^.

23. Nous avons démontré (n° 21) que toute période d'une intégrale abélienne de première espèce est égale à une somme de multiples des 2p périodes w, fournies par les cycles simples de première espèce, dans lesquels entrent les lacets non fondamentaux qui correspondent à des lacets non fondamentaux de seconde espèce. Les périodes w' jouissent

PÉRIODES DES LNTÉGItALES ABÉLIENNES.

évidemment de cette propriété, el l'on a

les coefficients c étant des nombres entiers, positifs ou négatifs. Nous avons démontré ensuite que toute période de l'intégrale abélienne est égale à une somme de multiples des ap périodes w', fournies par les cycles relatifs aux lacets complexes non fondamentaux de seconde espèce, qui correspondent à des lacets non fondamentaux de première espèce. D'après cela, les valeurs des périodes w, déduites des relations (/|), sont égales à des sommes de multiples des périodes «'; il en résuite que le déterminant des coefficients c est égal à ± i. Nous représenterons les relations (4) par la formule

en faisant varier les deux indices i et k de r ;i 3p.

Cas où Ions les points critiques sont du. second ordre.

24. Lorsque la courbe Y{x, y) = o n'a que des points doubles, ou, du moins, lorsque, dans la distribution des racines autour des points critiques, chacun des systèmes circulaires ne comprend que deux racines ('), la formation des deux systèmes de lacets fondamentaux, et l'évaluation du nombre des périodes, deviennent très-simples. Chaque système circulaire comprend deux lacets binaires, sur chacun desquels se permutent deux racines. On prendra pour premier lacet fondamental de première espèce le lacet (a)|;, qui unit les deux racines y^^ ^'■JK^i! l'autre lacet binaire {a%i sera non fondamental. Un second système circulaire [b) contient l'une des deux racines précédentes et une autre

(I) C'est le cas Wa'Ai par IIM. Clebscli ot Gordon, Théorie ikr Abclichcn Fiuietioncn

42 rUEMIÈBE PABTIE. - CIlAriTRE 111,

différente; on désignera par j/,^ la racine commune et l'on prendra pour second lacet fondamental le lacet (è)*;, qui unit l'une des deux premières racines à la racine nouvelle y^^; l'autre lacet {b)';,\ sera non fondamental. Un troisième système circulaire (c) contient l'une des trois racines précédentes et une autre différente; on désignera par/* la racine commune et l'on prendra pour troisième lacet fondamental le lacet {c)\\, qui unit l'une des trois premières racines à la racine nouvelle y^^; l'autre lacet (c)J; sera non fondamental, et ainsi de suite. Par exemple, si m ^ 3, le système des lacets fondamentaux de première espèce sera formé des trois lacets

!1 n'y a pas lieu ici de parler de lacets complexes. Un circuit de première espèce contenant au moins un lacet non fondamental d'un système circulaire sans les contenir tous (n" 19), ce lacet appartiendra il un nouveau système circulaire {d). On prendra pour premier lacet fondamental de seconde espèce le lacet {d')\], qui unit les deux raeines jB^ et /g^, ou les deux circuits (C)*; et (G);;. Ces deux circuits contiennent un lacet (e)J; d'un nouveau système circulaire (e),. sans contenir l'autre lacet de ce système; on prendra comme second lacet fondamental de seconde espèce le lacet {c')|;, qui unit à l'un des cir- (^uits précédents (C}|^ le nouveau circuit {C)|;, et, par conséquent, à la racine j's^, qui est l'une des précédentes, la nouvelle racine j^^. Les trois circuits contiennent un lacet (/),'"; d'un nouveau système circulaire (/), sans contenir l'autre lacet de ce système ; on prendra comme troisième lacet fondamental de seconde espèce le lacet (/')v qui unit à l'une des racines précédentes y^ la racine nouvelle j'z . Le système (les lacets fondamentaux de seconde espèce sera formé des trois lacets

On remarque que, dans le cas actuel, les deux systèmes de lacets fondamentaux correspondent à des points critiques différents, ou, du moins, à des systèmes circulaires différents.